Faça o estudo completo da função
f(x)=x^{4}-4 x^{3}
isto é,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
domínio,
e esboço do gráfico da função,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
paridade,
raízes,
tabela de crescimento/concavidade
e esboço do gráfico da função.
(1,1 pts)

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=x^{4}-4x^{3}
Isso envolve: determinar o domínio, paridade, assíntotas horizontais e verticais, raízes, derivada primeira e seu sinal (monotonicidade), derivada segunda e seu sinal (concavidade), pontos de inflexão, montar a tabela de crescimento/concavidade e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de polinômios, derivadas e propriedades de funções.

Passo 2

Domínio e assíntotas. Como f é um polinômio, seu domínio é \mathbb{R}. Polinômios não têm assíntotas verticais ou horizontais (crescem sem limite em \pm\infty), logo não há assíntotas.

Passo 3

Paridade e raízes.
Calculemos f(-x):
f(-x)=(-x)^{4}-4(-x)^{3}=x^{4}+4x^{3}\neq \pm f(x),
logo f não é par nem ímpar. Para as raízes, resolvemos
x^{4}-4x^{3}=x^{3}(x-4)=0,
de onde
x=0\\ (\text{multiplicidade }3), \quad x=4\\ (\text{multiplicidade }1).

Passo 4

Derivada primeira e monotonicidade.
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3).
Zeros críticos em x=0 (mult.,2) e x=3. O sinal de f'(x) é
para x<3, x^{2}>0 e x-3<0 \implies f'(x)<0;
para x>3, x-3>0 \implies f'(x)>0.
Portanto f é decrescente em (-\infty,3) e crescente em (3,\infty). Em x=3 há mínimo local; em x=0 f' não muda de sinal, não é extremum.

Passo 5

Derivada segunda e concavidade.
f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2).
Zera em x=0 e x=2. O sinal de f''(x):
para x<0, x<0 e x-2<0 \implies f''(x)>0 (côncavo para cima);
para 0<x<2, x>0, x-2<0 \implies f''(x)<0 (côncavo para baixo);
para x>2, x>0 e x-2>0 \implies f''(x)>0 (côncavo para cima).
Logo há pontos de inflexão em x=0 e x=2. Os valores são
f(0)=0, \quad f(2)=2^{4}-4\cdot2^{3}=16-32=-16.

Passo 6

Tabela de monotonicidade e concavidade:
\begin{array}{c|cccc|c} x & -\infty & 0 & 2 & 3 & +\infty\\hline f'(x) & & - & - & \color{red}\downarrow & +\\\ \text{monot.} & \multicolumn{4}{c|}{\text{decrescente em }(-\infty,3)} & \text{crescente}\\hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\ \text{concav.}& \text{côncavo p/ cima} & \text{inflexão} & \text{côncavo p/ baixo} & \text{inflexão} & \text{côncavo p/ cima} \end{array}

Passo 7

Esboço do gráfico.
  • Zera em x=0 (ponto de inflexão) e x=4.
  • Decrescente até x=3, atinge mínimo local em (3,-27), depois cresce.
  • Concavidade muda em x=0 e x=2.
  • Como f(x)\to+\infty em \pm\infty, temos “u” aberto à esquerda e à direita.
Um esboço qualitativo: \text{(ver gráfico abaixo: começa alto em \(-\infty, desce inflexão em 0, continua decrescendo até mínimo em 3, depois sobe para +\infty)})

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Assíntotas: nenhuma.
Paridade: nem par nem ímpar.
Raízes: x=0 (mult.,3), x=4. f'(x)=4x^{2}(x-3): decrescente em (-\infty,3), crescente em (3,\infty), mínimo local em (3,-27). f''(x)=12x(x-2): côncavo para cima em (-\infty,0)\cup(2,\infty), côncavo para baixo em (0,2), pontos de inflexão em (0,0) e (2,-16).
Tabela e esboço conforme Passo 6 e Passo 7.

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