Faça o estudo completo da função
isto é,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
domínio,
e esboço do gráfico da função,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
paridade,
raízes,
tabela de crescimento/concavidade
e esboço do gráfico da função.
(1,1 pts)
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
domínio,
e esboço do gráfico da função,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
paridade,
raízes,
tabela de crescimento/concavidade
e esboço do gráfico da função.
(1,1 pts)
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Isso envolve: determinar o domínio, paridade, assíntotas horizontais e verticais, raízes, derivada primeira e seu sinal (monotonicidade), derivada segunda e seu sinal (concavidade), pontos de inflexão, montar a tabela de crescimento/concavidade e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de polinômios, derivadas e propriedades de funções.
Passo 2
Domínio e assíntotas. Como
é um polinômio, seu domínio é
Polinômios não têm assíntotas verticais ou horizontais (crescem sem limite em
), logo não há assíntotas.
Passo 3
Paridade e raízes.
Calculemos :
Calculemos
logo
não é par nem ímpar. Para as raízes, resolvemos
de onde
Passo 4
Derivada primeira e monotonicidade.
Zeros críticos em
(mult.,2) e
. O sinal de
é
para ,
e
;
para ,
.
Portanto é decrescente em
e crescente em
. Em
há mínimo local; em
não muda de sinal, não é extremum.
para
para
Portanto
Passo 5
Derivada segunda e concavidade.
Zera em
e
. O sinal de
:
para ,
e
(côncavo para cima);
para ,
,
(côncavo para baixo);
para ,
e
(côncavo para cima).
Logo há pontos de inflexão em e
. Os valores são
para
para
para
Logo há pontos de inflexão em
Passo 6
Tabela de monotonicidade e concavidade:
Passo 7
Esboço do gráfico.
- Zera em
(ponto de inflexão) e . - Decrescente até
, atinge mínimo local em , depois cresce. - Concavidade muda em
e . - Como
em , temos “u” aberto à esquerda e à direita.
Um esboço qualitativo:
, desce inflexão em
, continua decrescendo até mínimo em
, depois sobe para
)})
Resposta
Domínio:
.
Assíntotas: nenhuma.
Paridade: nem par nem ímpar.
Raízes: (mult.,3),
.
: decrescente em
, crescente em
, mínimo local em
.
: côncavo para cima em
, côncavo para baixo em
, pontos de inflexão em
e
.
Tabela e esboço conforme Passo 6 e Passo 7.
Assíntotas: nenhuma.
Paridade: nem par nem ímpar.
Raízes:
Tabela e esboço conforme Passo 6 e Passo 7.