O produto de dois números negativos é 100 . Determine estes números sabendo que a soma deles tem o maior valor possível.(
)
4. Faça o estudo completo da função
isto é,
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
e esboço do gráfico da função.
(1,1 pts)
4. Faça o estudo completo da função
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
e esboço do gráfico da função.
(1,1 pts)
Passo 1
A questão tem duas partes. Na primeira, queremos dois números negativos
e
tais que
e cuja soma
seja máxima. Isto é um problema de otimização com restrição.
Na segunda, faremos o estudo completo da função
Na segunda, faremos o estudo completo da função
incluindo domínio, raízes, paridade, assíntotas, derivadas, sinais, concavidade e esboço do gráfico.
Passo 2
Para os números negativos, note que podemos escrever
,
com
e
. A condição
vira
Queremos maximizar
isto é o mesmo que minimizar
sob
. Pelo Desigualdade A–M e G–M, a soma
é mínima quando
. Logo
Isso dá
, e essa escolha maximiza
.
Passo 3
Domínio de
: polinômio, logo
.
Raízes de :
Raízes de
Paridade:
logo não é par nem ímpar.
Assíntotas verticais: nenhuma (polinômio).
Assíntotas horizontais: não há, pois .
Assíntotas verticais: nenhuma (polinômio).
Assíntotas horizontais: não há, pois
Passo 4
Derivada primeira:
Zera em
(dupla) e
. O sinal de
:
para ,
e
⇒
(decrescente);
para ,
⇒
(decrescente);
para ,
⇒
(crescente).
para
para
para
Derivada segunda:
Zera em
e
. O sinal de
:
para ,
e
⇒
(côncavo para cima);
para ,
e
⇒
(côncavo para baixo);
para ,
e
⇒
(côncavo para cima).
para
para
para
Passo 5
Tabela de monotonia e concavidade:
para : decrescente e côncavo para cima;
em : ponto de inflexão (derivada nula e troca de concavidade);
para : decrescente e côncavo para baixo;
em : ponto de inflexão (troca de concavidade);
para : decrescente e côncavo para cima;
em : mínimo local com
;
para : crescente e côncavo para cima.
para
em
para
em
para
em
para
Esboço do gráfico:
vém de quando
, decresce côncavo para cima até o inflexão em
, depois decresce côncavo para baixo até
, volta a decrescer côncavo para cima até o mínimo em
e então sobe para
, cruzando o eixo em
.
vém de
Resposta
Para o problema 1, os dois números são
e
.
Para o problema 2, o estudo de
é:
domínio ;
raízes em (multiplicidade 3) e
;
não é par nem ímpar;
sem assíntotas; : decrescente em
, crescente em
;
: côncavo para cima em
, côncavo para baixo em
;
ponto de inflexão em e
; mínimo local em
;
o gráfico decresce de a
e cresce depois, conforme descrito acima.
domínio
raízes em
não é par nem ímpar;
sem assíntotas;
ponto de inflexão em
o gráfico decresce de