O produto de dois números negativos é 100 . Determine estes números sabendo que a soma deles tem o maior valor possível.( 0,6 \mathrm{pts} )
4. Faça o estudo completo da função
f(x)=x^{4}-4 x^{3}
isto é,
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
e esboço do gráfico da função.
(1,1 pts)

Passo 1

A questão tem duas partes. Na primeira, queremos dois números negativos x e y tais que
xy=100
e cuja soma x+y seja máxima. Isto é um problema de otimização com restrição.
Na segunda, faremos o estudo completo da função
f(x)=x^{4}-4x^{3},
incluindo domínio, raízes, paridade, assíntotas, derivadas, sinais, concavidade e esboço do gráfico.

Passo 2

Para os números negativos, note que podemos escrever x=-a, y=-b com a>0 e b>0. A condição xy=100 vira
(-a)(-b)=ab=100.
Queremos maximizar
x+y=-(a+b),
isto é o mesmo que minimizar a+b sob ab=100. Pelo Desigualdade A–M e G–M, a soma a+b é mínima quando a=b. Logo
a=b=\sqrt{100}=10.
Isso dá x=y=-10, e essa escolha maximiza x+y.

Passo 3

Domínio de f: polinômio, logo \mathbb{R}.
Raízes de f(x)=x^{4}-4x^{3}=x^{3}(x-4):
x=0\quad(\text{multiplicidade }3),\qquad x=4\quad(\text{multiplicidade }1).
Paridade:
f(-x)=(-x)^{4}-4(-x)^{3}=x^{4}+4x^{3}\neq f(x)\quad\text{e}\quad f(-x)\neq -f(x),
logo não é par nem ímpar.
Assíntotas verticais: nenhuma (polinômio).
Assíntotas horizontais: não há, pois \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.

Passo 4

Derivada primeira:
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3).
Zera em x=0 (dupla) e x=3. O sinal de f':
para x<0, x-3<0 e x^{2}>0 f'<0 (decrescente);
para 0<x<3, x-3<0 f'<0 (decrescente);
para x>3, x-3>0 f'>0 (crescente).
Derivada segunda:
f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2).
Zera em x=0 e x=2. O sinal de f'':
para x<0, x<0 e x-2<0 f''>0 (côncavo para cima);
para 0<x<2, x>0 e x-2<0 f''<0 (côncavo para baixo);
para x>2, x>0 e x-2>0 f''>0 (côncavo para cima).

Passo 5

Tabela de monotonia e concavidade:
para x<0: decrescente e côncavo para cima;
em x=0: ponto de inflexão (derivada nula e troca de concavidade);
para 0<x<2: decrescente e côncavo para baixo;
em x=2: ponto de inflexão (troca de concavidade);
para 2<x<3: decrescente e côncavo para cima;
em x=3: mínimo local com f(3)=3^{4}-4\cdot3^{3}=81-108=-27;
para x>3: crescente e côncavo para cima.
Esboço do gráfico:
vém de +\infty quando x\to-\infty, decresce côncavo para cima até o inflexão em 0, depois decresce côncavo para baixo até x=2, volta a decrescer côncavo para cima até o mínimo em (3,-27) e então sobe para +\infty, cruzando o eixo em x=4.

Resposta

Para o problema 1, os dois números são -10 e -10.
Para o problema 2, o estudo de f(x)=x^{4}-4x^{3} é:
domínio \mathbb{R};
raízes em 0 (multiplicidade 3) e 4;
não é par nem ímpar;
sem assíntotas; f'(x)=4x^{2}(x-3): decrescente em (-\infty,3), crescente em (3,\infty); f''(x)=12x(x-2): côncavo para cima em (-\infty,0)\cup(2,\infty), côncavo para baixo em (0,2);
ponto de inflexão em x=0 e x=2; mínimo local em \bigl(3,-27\bigr);
o gráfico decresce de +\infty a -27 e cresce depois, conforme descrito acima.

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