Considere a função
definida no retângulo de vértices
. Resolva
a. Represente o domínio de integração no plano.
a. Represente o domínio de integração no plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos o domínio de integração no plano para a função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ definida no retângulo com vértices em
,
, $ (1,5) $ e $ (1,0)$. Isso envolve entender o que é o domínio de integração e como identificar as áreas limitadas por esses vértices no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um domínio de integração. Em cálculo, especialmente em integrais múltiplas, o domínio de integração é a região no plano (ou no espaço, se for em 3D) onde vamos calcular a integral. No nosso caso, estamos trabalhando no plano $ xy $, então o domínio é uma região bidimensional.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites desse domínio. Os vértices do retângulo são
,
, $ (1,5) $ e $ (1,0)$. Observamos que as coordenadas $ x $ variam de
a
e as coordenadas $ y $ variam de
a
. Isso significa que para qualquer ponto
dentro desse retângulo, $ x $ estará entre
e
, e $ y $ estará entre
e
.
Passo 4
Para representar graficamente esse domínio no plano, vamos desenhar o sistema de coordenadas $ xy $. Marcaremos os pontos
,
, $ (1,5) $ e $ (1,0)$ e conectá-los formando um retângulo. Esse retângulo será a nossa região de integração.
Passo 5
Essa representação gráfica nos ajuda a visualizar a área onde a função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ está definida e onde vamos calcular a integral dupla. Saber exatamente o domínio é essencial para configurar corretamente os limites de integração.
Resposta
O domínio de integração no plano é o retângulo com lados paralelos aos eixos $ x $ e $ y $, limitado por $ -1 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 5 $. A representação gráfica é um retângulo cujos vértices são
,
, $ (1,5) $ e $ (1,0)$.