Considere a função f(x, y)=x^2 y^2 definida no retângulo de vértices (-1,0),(-1,5),(1,5),(1,0). Resolva
a. Represente o domínio de integração no plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos o domínio de integração no plano para a função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ definida no retângulo com vértices em f(x, y) = x^2 y^2 , (-1,0), $ (1,5) $ e $ (1,0)$. Isso envolve entender o que é o domínio de integração e como identificar as áreas limitadas por esses vértices no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um domínio de integração. Em cálculo, especialmente em integrais múltiplas, o domínio de integração é a região no plano (ou no espaço, se for em 3D) onde vamos calcular a integral. No nosso caso, estamos trabalhando no plano $ xy $, então o domínio é uma região bidimensional.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites desse domínio. Os vértices do retângulo são (-1,0), (-1,5), $ (1,5) $ e $ (1,0)$. Observamos que as coordenadas $ x $ variam de (1,5) a (1,0) e as coordenadas $ y $ variam de x a -1. Isso significa que para qualquer ponto 1 dentro desse retângulo, $ x $ estará entre y e 0, e $ y $ estará entre 5 e (x, y).

Passo 4

Para representar graficamente esse domínio no plano, vamos desenhar o sistema de coordenadas $ xy $. Marcaremos os pontos xy , (-1,0), $ (1,5) $ e $ (1,0)$ e conectá-los formando um retângulo. Esse retângulo será a nossa região de integração.

Passo 5

Essa representação gráfica nos ajuda a visualizar a área onde a função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ está definida e onde vamos calcular a integral dupla. Saber exatamente o domínio é essencial para configurar corretamente os limites de integração.

Resposta

O domínio de integração no plano é o retângulo com lados paralelos aos eixos $ x $ e $ y $, limitado por $ -1 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 5 $. A representação gráfica é um retângulo cujos vértices são x , y , $ (1,5) $ e $ (1,0)$.

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