Considere a função
definida no retângulo de vértices
. Resolva
b. Divida o dominio em subretângulos dividindo o intervalo do
em 2 partes iguais e o intervalo do y em 5 partes iguais. Use a regra do ponto médio para aproximar o valor da integral dupla.
b. Divida o dominio em subretângulos dividindo o intervalo do
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ definida em um retângulo com vértices em
,
,
e
. Precisamos calcular a integral dupla dessa função sobre esse retângulo usando a regra do ponto médio. Para isso, vamos dividir o domínio em subretângulos: o intervalo de $ x $ será dividido em 2 partes iguais e o intervalo de $ y $ será dividido em 5 partes iguais. Vamos precisar entender como aplicar a regra do ponto médio para aproximar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites dos intervalos de $ x $ e $ y $. No eixo $ x $, o intervalo vai de
a
, e no eixo $ y $, vai de
a
.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo de $ x $ em 2 partes iguais. A largura de cada subintervalo de $ x $ será:
Então, os subintervalos de $ x $ são:
- Primeiro subintervalo:
- Segundo subintervalo:
Passo 4
Agora, vamos dividir o intervalo de $ y $ em 5 partes iguais. A largura de cada subintervalo de $ y $ será:
Então, os subintervalos de $ y $ são:
- Primeiro subintervalo:
- Segundo subintervalo:
- Terceiro subintervalo:
- Quarto subintervalo:
- Quinto subintervalo:
Passo 5
A regra do ponto médio consiste em avaliar a função no ponto médio de cada subretângulo e multiplicar pelo tamanho da área do subretângulo. Primeiro, vamos encontrar os pontos médios para cada subintervalo de $ x $ e $ y $.
Para $ x $:
- Primeiro subintervalo
: ponto médio $ x_m = \frac{-1 + 0}{2} = -0,5 $ - Segundo subintervalo
: ponto médio $ x_m = \frac{0 + 1}{2} = 0,5 $
Para $ y $:
- Primeiro subintervalo
: ponto médio $ y_m = \frac{0 + 1}{2} = 0,5 $ - Segundo subintervalo
: ponto médio $ y_m = \frac{1 + 2}{2} = 1,5 $ - Terceiro subintervalo
: ponto médio $ y_m = \frac{2 + 3}{2} = 2,5 $ - Quarto subintervalo
: ponto médio $ y_m = \frac{3 + 4}{2} = 3,5 $ - Quinto subintervalo
: ponto médio $ y_m = \frac{4 + 5}{2} = 4,5 $
Passo 6
Agora, vamos listar todos os subretângulos e seus respectivos pontos médios
:
-
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
Passo 7
Para cada subretângulo, vamos calcular o valor da função $ f(x_m, y_m) $ no ponto médio e multiplicar pela área do subretângulo. A área de cada subretângulo é:
Vamos calcular $ f(x_m, y_m) = (x_m)^2 (y_m)^2 $ para cada ponto médio:
Passo 8
Agora, somamos todos esses valores e multiplicamos pela área do subretângulo (que é 1, então a soma já será a aproximação da integral):
Vamos somar passo a passo:
Resposta
A aproximação da integral dupla usando a regra do ponto médio é
.