Considere a função f(x, y)=x^2 y^2 definida no retângulo de vértices (-1,0),(-1,5),(1,5),(1,0). Resolva
b. Divida o dominio em subretângulos dividindo o intervalo do x em 2 partes iguais e o intervalo do y em 5 partes iguais. Use a regra do ponto médio para aproximar o valor da integral dupla.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ definida em um retângulo com vértices em f(x, y) = x^2 y^2 , (-1,0), (-1,5) e (1,5). Precisamos calcular a integral dupla dessa função sobre esse retângulo usando a regra do ponto médio. Para isso, vamos dividir o domínio em subretângulos: o intervalo de $ x $ será dividido em 2 partes iguais e o intervalo de $ y $ será dividido em 5 partes iguais. Vamos precisar entender como aplicar a regra do ponto médio para aproximar a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites dos intervalos de $ x $ e $ y $. No eixo $ x $, o intervalo vai de x a y , e no eixo $ y $, vai de x a -1.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo de $ x $ em 2 partes iguais. A largura de cada subintervalo de $ x $ será:
x
Então, os subintervalos de $ x $ são:
  • Primeiro subintervalo: x
  • Segundo subintervalo: De

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo de $ y $ em 5 partes iguais. A largura de cada subintervalo de $ y $ será:
y
Então, os subintervalos de $ y $ são:
  • Primeiro subintervalo: y
  • Segundo subintervalo: De
  • Terceiro subintervalo: y
  • Quarto subintervalo: [0, 1]
  • Quinto subintervalo: [1, 2]

Passo 5

A regra do ponto médio consiste em avaliar a função no ponto médio de cada subretângulo e multiplicar pelo tamanho da área do subretângulo. Primeiro, vamos encontrar os pontos médios para cada subintervalo de $ x $ e $ y $.
Para $ x $:
  • Primeiro subintervalo x : ponto médio $ x_m = \frac{-1 + 0}{2} = -0,5 $
  • Segundo subintervalo y : ponto médio $ x_m = \frac{0 + 1}{2} = 0,5 $
Para $ y $:
  • Primeiro subintervalo x : ponto médio $ y_m = \frac{0 + 1}{2} = 0,5 $
  • Segundo subintervalo [-1, 0]: ponto médio $ y_m = \frac{1 + 2}{2} = 1,5 $
  • Terceiro subintervalo xm = -1 + 02 = -0,5 : ponto médio $ y_m = \frac{2 + 3}{2} = 2,5 $
  • Quarto subintervalo [0, 1]: ponto médio $ y_m = \frac{3 + 4}{2} = 3,5 $
  • Quinto subintervalo xm = 0 + 12 = 0,5 : ponto médio $ y_m = \frac{4 + 5}{2} = 4,5 $

Passo 6

Agora, vamos listar todos os subretângulos e seus respectivos pontos médios (xm, ym):
  1. [-1, 0] times [0, 1]: (-0,5, 0,5)
  2. [-1, 0] times [1, 2]: (-0,5, 1,5)
  3. [-1, 0] times [2, 3]: (-0,5, 2,5)
  4. [-1, 0] times [3, 4]: (-0,5, 3,5)
  5. [-1, 0] times [4, 5]: (-0,5, 4,5)
  6. [0, 1] times [0, 1]: (0,5, 0,5)
  7. [0, 1] times [1, 2]: (0,5, 1,5)
  8. [0, 1] times [2, 3]: (0,5, 2,5)
  9. [0, 1] times [3, 4]: (0,5, 3,5)
  10. [0, 1] times [4, 5]: (0,5, 4,5)

Passo 7

Para cada subretângulo, vamos calcular o valor da função $ f(x_m, y_m) $ no ponto médio e multiplicar pela área do subretângulo. A área de cada subretângulo é:
f(xm, ym) Á
Vamos calcular $ f(x_m, y_m) = (x_m)^2 (y_m)^2 $ para cada ponto médio:
  1. Área = De
  2. f(xm, ym) = (xm)^2 (ym)^2
  3. (-0,5)^2 times (0,5)^2 = 0,25 times 0,25 = 0,0625
  4. (-0,5)^2 times (1,5)^2 = 0,25 times 2,25 = 0,5625
  5. (-0,5)^2 times (2,5)^2 = 0,25 times 6,25 = 1,5625
  6. (-0,5)^2 times (3,5)^2 = 0,25 times 12,25 = 3,0625
  7. (-0,5)^2 times (4,5)^2 = 0,25 times 20,25 = 5,0625
  8. (0,5)^2 times (0,5)^2 = 0,25 times 0,25 = 0,0625
  9. (0,5)^2 times (1,5)^2 = 0,25 times 2,25 = 0,5625
  10. (0,5)^2 times (2,5)^2 = 0,25 times 6,25 = 1,5625

Passo 8

Agora, somamos todos esses valores e multiplicamos pela área do subretângulo (que é 1, então a soma já será a aproximação da integral):
0,0625 + 0,5625 + 1,5625 + 3,0625 + 5,0625 + 0,0625 + 0,5625 + 1,5625 + 3,0625 + 5,0625
Vamos somar passo a passo:
0,0625 + 0,5625 = 0,625
0,625 + 1,5625 = 2,1875
2,1875 + 3,0625 = 5,25
5,25 + 5,0625 = 10,3125
10,3125 + 0,0625 = 10,375
10,375 + 0,5625 = 10,9375
10,9375 + 1,5625 = 12,5
12,5 + 3,0625 = 15,5625
15,5625 + 5,0625 = 20,625

Resposta

A aproximação da integral dupla usando a regra do ponto médio é 20,625.

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