Considere a função f(x, y)=x^2 y^2 definida no retângulo de vértices (-1,0),(-1,5),(1,5),(1,0). Resolva
c. Calcule o valor da integral dupla usando a integral iterada e compare com a estimativa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem que calcular a integral dupla da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ dentro de um retângulo cujos cantos são f(x, y) = x^2 y^2 , (-1,0), (-1,5) e (1,5). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o retângulo onde vamos integrar. As coordenadas vão de $ x = -1 $ a $ x = 1 $ e de $ y = 0 $ a $ y = 5 $. Isso nos dá os limites de integração para $ x $ e $ y $.

Passo 3

A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Podemos escolher integrar primeiro em relação a $ x $ ou a $ y $. Vamos optar por integrar primeiro em relação a $ x $.

Passo 4

Então, a integral iterada fica assim:
integraly=0^5 integralx=-1^1 x^2 y^2 , dx , dy
Aqui, estamos integrando $ x^{2} y^{2} $ de $ x = -1 $ a $ x = 1 $, e depois de $ y = 0 $ a $ y = 5 $.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ x $:
x
Como $ y^{2} $ é constante em relação a $ x $, podemos tirar fora da integral:
integralx=-1^1 x^2 y^2 , dx

Passo 6

Agora, calculamos a integral de $ x^{2} $ de x^2 a -1:
1
Então, temos:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = ( 1^33 - (-1)^33 ) = ( 13 + 13 ) = 23

Passo 7

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ y $ de 0 a 5:
y
Vamos calcular a integral de $ y^{2} $:
integral0^5 23 y^2 , dy = 23 integral0^5 y^2 , dy
Então:
y^2

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{250}{9} $.

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