Considere a função
definida no retângulo de vértices
. Resolva
c. Calcule o valor da integral dupla usando a integral iterada e compare com a estimativa.
c. Calcule o valor da integral dupla usando a integral iterada e compare com a estimativa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem que calcular a integral dupla da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ dentro de um retângulo cujos cantos são
,
,
e
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o retângulo onde vamos integrar. As coordenadas vão de $ x = -1 $ a $ x = 1 $ e de $ y = 0 $ a $ y = 5 $. Isso nos dá os limites de integração para $ x $ e $ y $.
Passo 3
A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Podemos escolher integrar primeiro em relação a $ x $ ou a $ y $. Vamos optar por integrar primeiro em relação a $ x $.
Passo 4
Então, a integral iterada fica assim:
Aqui, estamos integrando $ x^{2} y^{2} $ de $ x = -1 $ a $ x = 1 $, e depois de $ y = 0 $ a $ y = 5 $.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ x $:
Como $ y^{2} $ é constante em relação a $ x $, podemos tirar fora da integral:
Passo 6
Agora, calculamos a integral de $ x^{2} $ de
a
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ y $ de 0 a 5:
Vamos calcular a integral de $ y^{2} $:
Então:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{250}{9} $.