Considere a função f(x, y)=x^2 y^2 definida no retângulo de vértices (-1,0),(-1,5),(1,5),(1,0). Resolva
d. Determine o valor médio da função nesse dominio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ definida dentro de um retângulo com os vértices em f(x, y) = x^2 y^2 , (-1,0), (-1,5) e (1,5). O que a gente precisa encontrar aqui é o valor médio dessa função nesse domínio. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais duplas e como calcular a média de uma função em uma região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor médio de uma função $ f(x, y) $ em uma região $ D $ é dado pela fórmula:
f(x, y) éÁ
Ou seja, a gente integra a função sobre toda a região e divide pela área dessa região.

Passo 3

Vamos calcular a área do retângulo onde a função está definida. Como os vértices são (-1,0), (-1,5), (1,5) e (1,0), a largura do retângulo é a diferença entre as coordenadas x: 1 - (-1) = 2. A altura é a diferença entre as coordenadas y: 5 - 0 = 5. Então, a área é:
Área = largura times aÁ

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ sobre o retângulo. Como f(x, y) = x^2 y^2 varia de x a -1 e 1 varia de y a 0, a integral fica:
5

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integralx=-1^1 x^2 y^2 , dx = y^2 integralx=-1^1 x^2 , dx
A integral de x^2 de -1 a 1 é:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = ( 1^33 - (-1)^33 ) = ( 13 - ( -13 ) ) = 23
Então, a integral interna fica:
y^2 times 23 = 23 y^2

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a y:
integral0^5 23 y^2 , dy = 23 integral0^5 y^2 , dy = 23 [ y^33 ]0^5 = 23 ( 5^33 - 0 ) = 23 times 1253 = 2509

Passo 7

Agora que temos a integral dupla igual a 2509 e a área do retângulo é 10, vamos calcular o valor médio:
Valor Médio = 110 times 2509 = 25090 = 259 approx 2,78 é

Resposta

O valor médio da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ no retângulo dado é f(x, y) = x^2 y^2 ou aproximadamente 2,78.

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