Considere a função
definida no retângulo de vértices
. Resolva
d. Determine o valor médio da função nesse dominio.
d. Determine o valor médio da função nesse dominio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ definida dentro de um retângulo com os vértices em
,
,
e
. O que a gente precisa encontrar aqui é o valor médio dessa função nesse domínio. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais duplas e como calcular a média de uma função em uma região específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor médio de uma função $ f(x, y) $ em uma região $ D $ é dado pela fórmula:
Ou seja, a gente integra a função sobre toda a região e divide pela área dessa região.
Passo 3
Vamos calcular a área do retângulo onde a função está definida. Como os vértices são
,
,
e
, a largura do retângulo é a diferença entre as coordenadas
:
. A altura é a diferença entre as coordenadas
:
. Então, a área é:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ sobre o retângulo. Como
varia de
a
e
varia de
a
, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
A integral de
de
a
é:
Então, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Passo 7
Agora que temos a integral dupla igual a
e a área do retângulo é
, vamos calcular o valor médio:
Resposta
O valor médio da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ no retângulo dado é
ou aproximadamente 2,78.