Seja
uma função diferenciável e suponha que, para todo
. Mostre que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá uma relação implícita em que aparece f(x) dentro de uma função seno e pede a derivada f′(x). O conteúdo é diferenciação implícita, e vamos precisar usar regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Derivamos ambos os lados de 3x^2 + x\sin(f(x)) = 2 em relação a x. A derivada de 3x^2 é 6x. Para x\sin(f(x)) usamos regra do produto:
Somando tudo e lembrando que a derivada de 2 é zero, fica
Isolando f’(x):
Portanto, para x\cos(f(x))≠0, temos