Seja f uma função diferenciável e suponha que, para todo x in Df, 3 x^2+x sen(f(x))=2. Mostre que f^prime(x)=6 x+sen(f(x))x cos (f(x)), para todo x in Df, com x cos (f(x)) neq 0.

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita em que aparece f(x) dentro de uma função seno e pede a derivada f′(x). O conteúdo é diferenciação implícita, e vamos precisar usar regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de 3x^2 + x\sin(f(x)) = 2 em relação a x. A derivada de 3x^2 é 6x. Para x\sin(f(x)) usamos regra do produto:
ddxl(xsin(f(x))r)=1cdotsin(f(x))+xcdotl(cos(f(x)),f'(x)r)=sin(f(x))+xcos(f(x)),f'(x)
Somando tudo e lembrando que a derivada de 2 é zero, fica
6x+sin(f(x))+xcos(f(x)),f'(x)=0
Isolando f’(x):
xcos(f(x)),f'(x)=-6x-sin(f(x))
Portanto, para x\cos(f(x))≠0, temos
f'(x)=-6x+sin(f(x))xcos(f(x))

Resposta

f'(x)=-dfrac6x+sin(f(x))xcos(f(x))

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