Considere a função f(x, y)=2 x^3-x y.
Determine a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto (x, y, z)=(1,1, f(1,1)).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por z=f(x,y)=2x^3 - x y no ponto (x0,y0,z0)=(1,1,f(1,1)). O conteúdo principal é cálculo de plano tangente, que usa derivadas parciais de f.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
partial fpartial x(x,y)=6x^2 - y,
partial fpartial y(x,y)=-x

Passo 3

Em seguida avaliamos em (x0,y0)=(1,1) e encontramos z0=f(1,1)=2cdot1^3-1cdot1=1. Assim:
partial fpartial x(1,1)=6cdot1^2-1=5,
partial fpartial y(1,1)=-1

Passo 4

Usando a fórmula do plano tangente
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0),
substituímos os valores:
z - 1 = 5(x - 1) -1(y - 1)
Agora basta simplificar:
z - 1 = 5x - 5 - y + 1 implies z = 5x - y - 3

Resposta

z = 5x - y - 3

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