Questão 03: Determine a série de Maclaurin de f(x). (Assuma que f tem expansão em um série de potências. Não mostre que Rn(x) 0 ). Encontre também o raio de convergência.
f(x)=x e^x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=x e^x e o raio de convergência, então vamos usar a expansão de potências de e^x e depois multiplicar por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^x é dada por
e^x=sumn=0^inftyx^nn!
Aqui usamos que e^x tem expansão em potência com coeficientes 1/n!.

Passo 3

Multiplicando a expansão de e^x por x temos
x,e^x=xsumn=0^inftyx^nn!=sumn=0^inftyx^n+1n!
Para escrever no formato usual, faça a troca de índice k=n+1, o que dá
x,e^x=sumk=1^inftyx^k(k-1)!

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão nos coeficientes a_k=1/(k-1)! (valendo para k≥1). Temos
limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty1/k!1/(k-1)! =limktoinfty1k=0
Como esse limite é 0<1 para todo x, conclui-se que R=∞.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=x e^x é
x,e^x=sumn=0^inftyx^n+1n!=sumk=1^inftyx^k(k-1)!,
e o raio de convergência é R=∞.

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