Questão 03: Determine a série de Maclaurin de
. (Assuma que
tem expansão em um série de potências. Não mostre que
). Encontre também o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=x e^x e o raio de convergência, então vamos usar a expansão de potências de e^x e depois multiplicar por x.
Passo 2
A série de Maclaurin de e^x é dada por
Aqui usamos que e^x tem expansão em potência com coeficientes 1/n!.
Passo 3
Multiplicando a expansão de e^x por x temos
Para escrever no formato usual, faça a troca de índice k=n+1, o que dá
Passo 4
Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão nos coeficientes a_k=1/(k-1)! (valendo para k≥1). Temos
Como esse limite é 0<1 para todo x, conclui-se que R=∞.
Resposta
A série de Maclaurin de f(x)=x e^x é
e o raio de convergência é R=∞.