Se z=x e^-x y-6 y^2 com x=t^2 e y=t-1, use a regra da cadeia para determinar d zd t. Avalie d zd t em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A gente tem uma função onde e também dependem de , especificamente e . O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando a regra da cadeia, e depois avaliar essa derivada quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt depende de e , que por sua vez dependem de , então a derivada total de em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = e^-xy + x cdot e^-xy cdot (-y) em relação a partial zpartial x = e^-xy - xy e^-xy e partial zpartial y = x cdot e^-xy cdot (-x) - 12y .
Primeiro, a derivada parcial de partial zpartial y = -x^2 e^-xy - 12y em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos das derivadas de dxdt = 2t e dydt = 1 em relação a .
Para :
Para :

Passo 5

Vamos juntar tudo usando a regra da cadeia:
dzdt = ( e^-xy - xy e^-xy ) cdot 2t + ( -x^2 e^-xy - 12y ) cdot 1
Agora, substituímos dzdt = ( e^-t^2(t-1) - t^2(t-1) e^-t^2(t-1) ) cdot 2t + ( -t^4 e^-t^2(t-1) - 12(t - 1) ) e :

Passo 6

Agora, vamos avaliar x = 0^2 = 0 quando y = 0 - 1 = -1 :
Primeiro, calculemos dzdt = ( e^0 - 0 cdot e^0 ) cdot 0 + ( -0 cdot e^0 - 12(-1) ) e dzdt = (1 - 0) cdot 0 + (0 + 12) = 12 em :
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:

Resposta

dzdt g|t=0 = 12

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