Questão 02: Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência
f(x)=arctg(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para achar a série de potências de f(x)=arctg(2x) e seu intervalo de convergência. Isso envolve usar a expansão em Taylor/Maclaurin de arctan(x) e depois adaptar para 2x.

Passo 2

Lembrando que a função arctan(x) tem, para |x|<=1, a expansão em série de potências
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1,

Passo 3

Substituindo xto2x nessa série, obtemos a expansão para arctan(2x):
$$\arctan(2x)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(2x)^{2n+1}}{2n+1}
=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{2{2n+1}x{2n+1}}{2n+1}.$$

Passo 4

Para saber o raio de convergência, usamos a condição original |2x|<1, ou seja,
|x|

Passo 5

Agora testamos os extremos: em x=tfrac12 e x=-tfrac12 a série se torna a série alternante sum(-1)^n/(2n+1), que converge (para pmpi/4). Logo, o intervalo de convergência é fechado em [-tfrac12,tfrac12].

Resposta

[\n \arctan(2x)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{2{2n+1}x{2n+1}}{2n+1}, \quad intervalo de convergência[-\tfrac12,\tfrac12].\n]

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