Questão 02: Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência
Passo 1
O enunciado pede para achar a série de potências de
e seu intervalo de convergência. Isso envolve usar a expansão em Taylor/Maclaurin de
e depois adaptar para
.
Passo 2
Lembrando que a função
tem, para
, a expansão em série de potências
Passo 3
Substituindo
nessa série, obtemos a expansão para
:
$$\arctan(2x)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(2x)^{2n+1}}{2n+1}
=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{2{2n+1}x{2n+1}}{2n+1}.$$
Passo 4
Para saber o raio de convergência, usamos a condição original
, ou seja,
Passo 5
Agora testamos os extremos: em
e
a série se torna a série alternante
, que converge (para
). Logo, o intervalo de convergência é fechado em
.
Resposta
[\n \arctan(2x)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{2{2n+1}x{2n+1}}{2n+1}, \quad intervalo de convergência[-\tfrac12,\tfrac12].\n]