Usando a definição mostre que: lim (x, y) (2,1)(3 x+2 y)=8.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em duas variáveis, que \ [\lim_{(x,y)\to(2,1)}(3x+2y)=8.\ O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos precisar da definição epsilon-delta, que exige: para cada varepsilon>0 existir de0 tal que se raiz(x-2)^2+(y-1)^2 então |3x+2y-8|.

Passo 2

Começamos escrevendo a diferença entre a função e o valor-limite:
|3x+2y-8|=|3(x-2)+2(y-1)|
Usamos a desigualdade triangular para separar os termos.

Passo 3

Aplicamos desigualdades para ligar a expressão à distância raiz(x-2)^2+(y-1)^2:
|3(x-2)+2(y-1)|<= 3|x-2|+2|y-1|
Como max|x-2|,|y-1|<=raiz(x-2)^2+(y-1)^2, temos
3|x-2|+2|y-1|<= 3raiz(x-2)^2+(y-1)^2+2raiz(x-2)^2+(y-1)^2=5raiz(x-2)^2+(y-1)^2

Passo 4

Para garantir |3x+2y-8|, basta tornar
5raiz(x-2)^2+(y-1)^2
o que acontece se escolhermos
de
Assim, sempre que raiz(x-2)^2+(y-1)^2 teremos |3x+2y-8|<5de.

Passo 5

Portanto, pela definição de limite em R^2, conclui-se que
lim(x,y)to(2,1)(3x+2y)=8

Resposta

Escolhendo de satisfazemos a condição da definição, logo o limite é 8.

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