Usando a definição mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em duas variáveis, que \ [\lim_{(x,y)\to(2,1)}(3x+2y)=8.\ O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos precisar da definição epsilon-delta, que exige: para cada
existir
tal que se
então
.
Passo 2
Começamos escrevendo a diferença entre a função e o valor-limite:
Usamos a desigualdade triangular para separar os termos.
Passo 3
Aplicamos desigualdades para ligar a expressão à distância
:
Como
, temos
Passo 4
Para garantir
, basta tornar
o que acontece se escolhermos
Assim, sempre que
teremos
.
Passo 5
Portanto, pela definição de limite em
, conclui-se que
Resposta
Escolhendo
satisfazemos a condição da definição, logo o limite é 8.