Use o Teorema de Gauss para calcular
, onde
e
é a metade de cima da esfera
. Como
não é uma superfície fechada, calcule primeiro as integrais sobre
e
, onde
é o círculo
, orientada para baixo, e
.
Passo 1
O problema pede para calcular o fluxo
pela metade superior da esfera
, usando o Teorema de Gauss. Como essa superfície não é fechada, vamos fechá-la com o disco
no plano
orientado para baixo, e aplicar o teorema ao volume
da metade de cima da bola.
Passo 2
Primeiro, calculamos a divergência de
. Temos
Passo 3
Pelo Teorema de Gauss, o fluxo sobre a superfície fechada
vale a integral tripla de
em
. Em coordenadas esféricas
:
Passo 4
Agora calculamos o fluxo através do disco
em
orientado para baixo (normal
). Como
, temos
. Em coordenadas polares:
Passo 5
Finalmente, o fluxo pela metade de cima
é o total menos o fluxo pelo disco: