Use o Teorema de Gauss para calcular integral duplaS F cdot d S, onde
F(x, y, z)=z^2 x i+(y^33+tan z) j+(x^2 z+y^2) k
e S é a metade de cima da esfera x^2+y^2+z^2=1. Como S não é uma superfície fechada, calcule primeiro as integrais sobre S1 e S2, onde S1 é o círculo x^2+y^2 <= 1, orientada para baixo, e S2=S cap S1.

Passo 1

O problema pede para calcular o fluxo integral duplaSFcdot dS pela metade superior da esfera x^2+y^2+z^2=1, usando o Teorema de Gauss. Como essa superfície não é fechada, vamos fechá-la com o disco S1 no plano z=0 orientado para baixo, e aplicar o teorema ao volume V da metade de cima da bola.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de F(x,y,z)=z^2x,i+l(tfracy^33+tan zr),j+(x^2z+y^2),k. Temos
nablacdotF =partialpartial x(z^2x) +partialpartial yl(y^33+tan zr) +partialpartial z(x^2z+y^2) = z^2 + y^2 + x^2

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss, o fluxo sobre a superfície fechada Scup S1 vale a integral tripla de x^2+y^2+z^2 em V. Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta):
integral triplaV(x^2+y^2+z^2),dV =integral triplaV rho^2,(rho^2sinphi),drho,dphi,dtheta =integral0^2pidthetaintegral0^pi/2sinphi,dphiintegral0^1rho^4,drho =2picdot1cdot15 =2pi5

Passo 4

Agora calculamos o fluxo através do disco S1 em z=0 orientado para baixo (normal -k). Como Fz( x,y,0)=y^2, temos Fcdot(-k)=-y^2. Em coordenadas polares:
integral duplaS1Fcdot dS =-integral0^2piintegral0^1(rsintheta)^2,r,dr,dtheta =-integral0^2pisin^2theta,dthetaintegral0^1r^3,dr =-picdot14 =-pi4

Passo 5

Finalmente, o fluxo pela metade de cima S é o total menos o fluxo pelo disco:
integral duplaSFcdot dS =2pi5-l(-pi4r) =2pi5+pi4 =13pi20

Resposta

tfrac13pi20

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