Para cada caso abaixo, calcule a(s) derivada(s) parcial(is) indicadas:
-x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2=0 ; zx, zy.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
F(x,y,z)= -x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 = 0
e pede as derivadas parciais zx e zy. Vamos usar diferenciação implícita considerando z=z(x,y), aplicando a regra de cadeia.

Passo 2

Definimos
Fx = partial Fpartial x, Fy = partial Fpartial y, Fz = partial Fpartial z
Derivando,
Fx = -2x y^2 + 2x z^2, Fy = -2x^2 y + 2y z^2, Fz = 2x^2 z + 2y^2 z

Passo 3

Para zx, diferenciamos F(x,y,z(x,y))=0 em relação a x:
Fx + Fz,zx = 0 implies zx = -FxFz
Substituindo,
zx = --2x y^2 + 2x z^22x^2 z + 2y^2 z = 2x(y^2 - z^2)2z(x^2 + y^2)

Passo 4

Para zy, diferenciamos em relação a y:
Fy + Fz,zy = 0 implies zy = -FyFz
Substituindo,
zy = --2x^2 y +2y z^22x^2 z +2y^2 z = 2y(x^2 - z^2)2z(x^2 + y^2)

Resposta

zx = x,(y^2 - z^2)z,(x^2 + y^2), zy = y,(x^2 - z^2)z,(x^2 + y^2).

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