Considere a função F(x, y)==x^{3}+y^{3}-3 x y :
(a) Calcule o gradiente de F(x, y) em seguida as derivadas parciais de segunda ordem.
\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=x^{3}+y^{3}-3\,x\,y
e pede (a) o gradiente de F e em seguida as derivadas parciais de segunda ordem \frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y} e \frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}.
Para resolver, vamos usar as regras básicas de derivação: a regra do poder para x^{3} e y^{3} e a regra do produto para -3xy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem, que formam o gradiente \nabla F=(F_{x},F_{y}).
Derivando em relação a x:
F_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr)-3\,\frac{\partial}{\partial x}(x\,y) =3x^{2}+0-3\,y =3x^{2}-3y.
Derivando em relação a y:
F_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)-3\,\frac{\partial}{\partial y}(x\,y) =0+3y^{2}-3\,x =3y^{2}-3x.
Portanto,
\boxed{\nabla F(x,y)=\bigl(3x^{2}-3y,\;3y^{2}-3x\bigr).}

Passo 3

A partir de F_{x} e F_{y}, calculamos as derivadas de segunda ordem.
F_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-3y) =6x,
F_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-3y) =-3,
F_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}-3x) =6y.
Note que F_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(3y^{2}-3x)=-3, confirmando a simetria F_{xy}=F_{yx}.

Resposta

\nabla F(x,y)=\bigl(3x^{2}-3y,\;3y^{2}-3x\bigr) \displaystyle \frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}=6x, \displaystyle \frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y}=-3, \displaystyle \frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}=6y.

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