(9.0 pts) Localize e classifique os pontos criticos da função
F(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2} y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
F(x,y)=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}},
definida em \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\neq0,y\neq0\}. Vamos usar gradiente para achar pontos críticos e a matriz Hessiana para classificar (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos estacionários.
\frac{\partial F}{\partial x} =2x - 2\,\frac{1}{x^{3}y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 2x = \frac{2}{x^{3}y^{2}} \;\Longrightarrow\; x^{4}y^{2}=1,
\frac{\partial F}{\partial y} =2y - 2\,\frac{1}{x^{2}y^{3}} \quad\Longrightarrow\quad 2y = \frac{2}{x^{2}y^{3}} \;\Longrightarrow\; x^{2}y^{4}=1.

Passo 3

Do sistema
\begin{cases} x^{4}y^{2}=1,\\\ x^{2}y^{4}=1, \end{cases}
dividindo a primeira pela segunda vem x^{2}/y^{2}=1, ou seja \lvert x\rvert=\lvert y\rvert. Substituindo em x^{4}y^{2}=1 x^{6}=1, logo x=\pm1 e y=\pm1 com combinações que satisfazem \lvert y\rvert=\lvert x\rvert. Assim os quatro pontos críticos são
(1,1),\;(-1,-1),\;(1,-1),\;(-1,1).

Passo 4

Para classificar, usamos a matriz Hessiana
H = \begin{pmatrix} F_{xx}&F_{xy}\\\ F_{yx}&F_{yy} \end{pmatrix},
com
F_{xx} =2 + 6\,\frac{1}{x^{4}y^{2}}, \quad F_{yy} =2 + 6\,\frac{1}{x^{2}y^{4}}, \quad F_{xy} =4\,\frac{1}{x^{3}y^{3}}.
Em cada ponto crítico \lvert x\rvert=\lvert y\rvert=1 vale
F_{xx}=8,\quad F_{yy}=8, \quad F_{xy}=\frac{4}{(xy)^{3}}=\begin{cases} 4,&xy=1,\\\\ -4,&xy=-1. \end{cases}

Passo 5

O discriminante da Hessiana é
D = F_{xx}F_{yy}-F_{xy}^{2} =8\cdot 8 - (\,\pm4\,)^{2} =64-16=48>0.
Como F_{xx}=8>0 e D>0 em todos os quatro pontos, cada um é ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são
(1,1),\;(-1,-1),\;(1,-1),\;(-1,1),
e todos são mínimos locais.

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