(9.0 pts) Localize e classifique os pontos criticos da função
F(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2} y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
F(x,y)=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}},
definida em \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\neq0,y\neq0\}. Vamos usar gradiente para achar pontos críticos e a matriz Hessiana para classificar (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos estacionários.
dividindo a primeira pela segunda vem x^{2}/y^{2}=1, ou seja \lvert x\rvert=\lvert y\rvert. Substituindo em x^{4}y^{2}=1 dá x^{6}=1, logo x=\pm1 e y=\pm1 com combinações que satisfazem \lvert y\rvert=\lvert x\rvert. Assim os quatro pontos críticos são
(1,1),\;(-1,-1),\;(1,-1),\;(-1,1).
Passo 4
Para classificar, usamos a matriz Hessiana
H = \begin{pmatrix} F_{xx}&F_{xy}\\\ F_{yx}&F_{yy} \end{pmatrix},