(2,0 pts) Considere a função F(x, y)=m x^{3}+y^{3}-3 x y :
(a) ( \mathbf{4}, \mathbf{0} pts) Calcule o gradiente de F(x, y) em seguida as derivadas parcinis de segunda ordem
\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}
(b) (5,0 pts) Encontre os máximos e mỉnimos absolutos da funçĩo
F(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x
definida no conjunto
B=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
e faça um esboço da regiño B

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos calcular o gradiente de
F(x,y)=m x^{3}+y^{3}-3xy
e em seguida as derivadas parciais de segunda ordem \frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y} e \frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}.
Na parte (b) queremos encontrar os máximos e mínimos absolutos da função
F(x,y)=x^{2}+2y^{2}-x
no disco fechado
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
Usaremos derivadas para achar pontos críticos no interior e multiplicadores de Lagrange ou parametrização para o contorno.

Passo 2

Para obter o gradiente, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial F}{\partial x} =3m x^{2}-3y, \qquad \frac{\partial F}{\partial y} =3y^{2}-3x.
Logo
\nabla F(x,y)=\bigl(3m x^{2}-3y,\;3y^{2}-3x\bigr).

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}(3m x^{2}-3y) =6m x,
\frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(3m x^{2}-3y) =-3,
\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}-3x) =6y.

Passo 4

Para a parte (b), primeiro achamos pontos críticos de \;F(x,y)=x^{2}+2y^{2}-x no interior de B.
Calculamos
\frac{\partial F}{\partial x}=2x-1, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=4y,
e igualamos a zero.

Passo 5

Resolvendo
2x-1=0\implies x=\tfrac12, \qquad 4y=0\implies y=0.
Esse ponto \bigl(\tfrac12,0\bigr) satisfaz \tfrac14+0\le1, ou seja, está dentro de B.

Passo 6

Avaliaremos
F\bigl(\tfrac12,0\bigr) =\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}+2\cdot0^{2}-\tfrac12 =\tfrac14-\tfrac12 =-\tfrac14.

Passo 7

Agora tratamos o contorno x^{2}+y^{2}=1 via multiplicadores de Lagrange.
Definimos
L(x,y,\lambda) =x^{2}+2y^{2}-x -\lambda\,(x^{2}+y^{2}-1)
e impomos \;L_{x}=0,\;L_{y}=0,\;x^{2}+y^{2}=1.

Passo 8

As equações são
L_{x}=2x-1-2\lambda x=0, \qquad L_{y}=4y-2\lambda y=0, \qquad x^{2}+y^{2}=1.
De 4y-2\lambda y=0 surge y=0 ou \lambda=2.

Passo 9

Caso y=0 e x^{2}=1, obtemos (x,y)=(\pm1,0).
Caso \lambda=2 e x\neq0, da primeira equação
2x-1=4x\implies -1=2x\implies x=-\tfrac12,
e da circunferência
\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}+y^{2}=1 \implies y^{2}=\tfrac34\implies y=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 10

Avaliações no contorno:
F(1,0)=1-1=0, \quad F(-1,0)=1+1=2,
F\bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2} +2\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr) -(-\tfrac12) =\tfrac14+\tfrac32+\tfrac12 =\tfrac94.

Passo 11

Comparando todos:
no interior F=-\tfrac14 em \bigl(\tfrac12,0\bigr);
no contorno, valores 0,2,\tfrac94.
O mínimo absoluto é -\tfrac14 em \bigl(\tfrac12,0\bigr) e o máximo absoluto é \tfrac94 em \bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

Passo 12

A região B é o disco de raio 1 centrado na origem. Num esboço, basta desenhar o círculo x^{2}+y^{2}=1 e sombrear seu interior.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla F(x,y)=\bigl(3m x^{2}-3y,\;3y^{2}-3x\bigr), \displaystyle \frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}}=6m x, \displaystyle \frac{\partial^{2}F}{\partial x\partial y}=-3, \displaystyle \frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}=6y.
(b) O mínimo absoluto é
F\bigl(\tfrac12,0\bigr)=-\tfrac14,
e o máximo absoluto é
F\bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)=\tfrac94.
A região B é o disco de centro (0,0) e raio 1.

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