(2,0 pts) Considere a função
:
(a) (
pts) Calcule o gradiente de
em seguida as derivadas parcinis de segunda ordem
(b) (5,0 pts) Encontre os máximos e mỉnimos absolutos da funçĩo
definida no conjunto
e faça um esboço da regiño B
(a) (
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos calcular o gradiente de
e em seguida as derivadas parciais de segunda ordem
,
e
.
Na parte (b) queremos encontrar os máximos e mínimos absolutos da função
Na parte (b) queremos encontrar os máximos e mínimos absolutos da função
no disco fechado
Usaremos derivadas para achar pontos críticos no interior e multiplicadores de Lagrange ou parametrização para o contorno.
Passo 2
Para obter o gradiente, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Logo
Passo 3
Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 4
Para a parte (b), primeiro achamos pontos críticos de
no interior de
.
Calculamos
Calculamos
e igualamos a zero.
Passo 5
Resolvendo
Esse ponto
satisfaz
, ou seja, está dentro de
.
Passo 6
Avaliaremos
Passo 7
Agora tratamos o contorno
via multiplicadores de Lagrange.
Definimos
Definimos
e impomos
Passo 8
As equações são
De
surge
ou
.
Passo 9
Caso
e
, obtemos
.
Caso e
, da primeira equação
Caso
e da circunferência
Passo 10
Avaliações no contorno:
Passo 11
Comparando todos:
no interior em
;
no contorno, valores .
O mínimo absoluto é em
e o máximo absoluto é
em
.
no interior
no contorno, valores
O mínimo absoluto é
Passo 12
A região
é o disco de raio
centrado na origem. Num esboço, basta desenhar o círculo
e sombrear seu interior.
Resposta
(a)
,
,
,
.
(b) O mínimo absoluto é
e o máximo absoluto é
A região
é o disco de centro
e raio
.