Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y na região triangular limitada pelas retas: \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0, \mathrm{x}+\mathrm{y}=4. Determine:
a) Os pontos críticos internos;
b) Os extremos da função em cada lado da região;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar os pontos críticos internos da função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-4y na região triangular limitada por x=0, y=0 e x+y=4.
(b) Determinar os extremos da função em cada lado dessa região (ou seja, nos segmentos onde x=0, y=0 e x+y=4).
Informações dadas importantes:
A função é f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-4y.
A região é o triângulo fechado com vértices em (0,0), (4,0) e (0,4).
Em cada lado vamos considerar o segmento fechado correspondente (por exemplo, para x=0 temos y\in[0,4]).
Passo 2
Como achar pontos críticos internos (ideia e procedimento):
Em duas variáveis, um ponto interno crítico ocorre onde o gradiente de f é nulo: \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y)=\mathbf{0}.
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
Para classificar: se a Hessiana for definida positiva no ponto, temos mínimo local; se definida negativa, máximo local; se indefinida, ponto de sela.
Aqui os autovalores da Hessiana são 2 e 2 (ambos positivos), então a Hessiana é definida positiva e (1,2) é um mínimo local (na verdade, mínimo estrito).
Valor da função no ponto crítico:
f(1,2)=1^{2}+2^{2}-2\cdot1-4\cdot2=1+4-2-8=-5.
Passo 4
Extremos no lado x=0 (segmento \{(0,y):y\in[0,4]\}):
Restrição: g(y)=f(0,y)=y^{2}-4y.
Derivada: g'(y)=2y-4. Zera em y=2, que pertence ao intervalo [0,4] (ponto interior do segmento).
Avaliando pontos candidatos (extremos do segmento e crítico interior do segmento):