Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y na região triangular limitada pelas retas: \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0, \mathrm{x}+\mathrm{y}=4. Determine:
a) Os pontos críticos internos;
b) Os extremos da função em cada lado da região;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar os pontos críticos internos da função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-4y na região triangular limitada por x=0, y=0 e x+y=4.
  • (b) Determinar os extremos da função em cada lado dessa região (ou seja, nos segmentos onde x=0, y=0 e x+y=4).
Informações dadas importantes:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-4y.
  • A região é o triângulo fechado com vértices em (0,0), (4,0) e (0,4).
  • Em cada lado vamos considerar o segmento fechado correspondente (por exemplo, para x=0 temos y\in[0,4]).

Passo 2

Como achar pontos críticos internos (ideia e procedimento):
  • Em duas variáveis, um ponto interno crítico ocorre onde o gradiente de f é nulo: \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y)=\mathbf{0}.
  • Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y-4.
Igualando a zero:
2x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1,
2y-4=0 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Logo existe um único ponto crítico candidato: (1,2).
Verificação de interior:
  • O ponto (1,2) satisfaz x\ge0, y\ge0 e x+y=3\le4, logo ele está dentro do triângulo (interno).

Passo 3

Classificação do ponto crítico (segundo derivadas):
  • A matriz Hessiana de f (matriz das segundas derivadas) é
H(f)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
  • Para classificar: se a Hessiana for definida positiva no ponto, temos mínimo local; se definida negativa, máximo local; se indefinida, ponto de sela.
  • Aqui os autovalores da Hessiana são 2 e 2 (ambos positivos), então a Hessiana é definida positiva e (1,2) é um mínimo local (na verdade, mínimo estrito).
Valor da função no ponto crítico:
f(1,2)=1^{2}+2^{2}-2\cdot1-4\cdot2=1+4-2-8=-5.

Passo 4

Extremos no lado x=0 (segmento \{(0,y):y\in[0,4]\}):
  • Restrição: g(y)=f(0,y)=y^{2}-4y.
  • Derivada: g'(y)=2y-4. Zera em y=2, que pertence ao intervalo [0,4] (ponto interior do segmento).
  • Avaliando pontos candidatos (extremos do segmento e crítico interior do segmento):
g(0)=0,\qquad g(2)=2^{2}-8=-4,\qquad g(4)=16-16=0.
Conclusão para x=0:
  • Mínimo no segmento: em (0,2) com valor f(0,2)=-4.
  • Máximo no segmento: nos extremos (0,0) e (0,4) com valor 0.

Passo 5

Extremos no lado y=0 (segmento \{(x,0):x\in[0,4]\}):
  • Restrição: h(x)=f(x,0)=x^{2}-2x.
  • Derivada: h'(x)=2x-2. Zera em x=1, que pertence a [0,4].
  • Avaliando candidatos:
h(0)=0,\qquad h(1)=1-2=-1,\qquad h(4)=16-8=8.
Conclusão para y=0:
  • Mínimo no segmento: em (1,0) com valor f(1,0)=-1.
  • Máximo no segmento: em (4,0) com valor f(4,0)=8.

Passo 6

Extremos no lado x+y=4 (segmento \{(x,4-x):x\in[0,4]\}):
  • Parametrizamos pela variável x. Restrição: k(x)=f(x,4-x).
  • Calculamos:
k(x)=x^{2}+(4-x)^{2}-2x-4(4-x).
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
(4-x)^{2}=16-8x+x^{2},
então
k(x)=x^{2}+16-8x+x^{2}-2x-16+4x=2x^{2}-6x.
  • Derivada: k'(x)=4x-6. Zera em x=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}, que está em [0,4].
  • Avaliando candidatos:
k(0)=0 \quad\text{(ponto }(0,4)\text{)},\qquad k\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=2\!\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-6\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-\tfrac{9}{2},\qquad k(4)=8 \quad\text{(ponto }(4,0)\text{)}.
Conclusão para x+y=4:
  • Mínimo no segmento: em \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}\right) com valor f=-\dfrac{9}{2}.
  • Máximo no segmento: em (4,0) com valor 8 (o outro extremo (0,4) tem valor 0).

Passo 7

Resumo útil (comparando valores):
  • Valor no ponto interior crítico: f(1,2)=-5.
  • Valores mínimos encontrados nos lados: -4 (em (0,2)), -1 (em (1,0)), -\tfrac{9}{2}=-4{,}5 (em (\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2})).
  • O menor entre todos estes é f(1,2)=-5 (mínimo global no triângulo) e o maior observado nas bordas é 8 em (4,0).

Resposta

(a) Ponto crítico interno: \,(1,2), mínimo local com valor f(1,2)=-5.
(b) Extremos em cada lado:
  • Em x=0: mínimo em (0,2) com f(0,2)=-4; máximo em (0,0) e (0,4) com f=0.
  • Em y=0: mínimo em (1,0) com f(1,0)=-1; máximo em (4,0) com f(4,0)=8.
  • Em x+y=4: mínimo em \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}\right) com f=-\tfrac{9}{2}; máximo em (4,0) com f(4,0)=8.

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