Determine os máximos e mínimos da função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sujeita à restrição x+2 y+3 z=6
Faça:
a) A montagem completa do sistema de Lagrange;
b) A determinação dos pontos críticos;

Passo 1

O enunciado dá a função objetivo e a restrição e pede duas coisas:
  • Função objetivo: f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Restrição linear: x+2y+3z=6.
As perguntas são:
a) Montar o sistema de Lagrange completo (ou seja, escrever as equações do método);
b) Determinar os pontos críticos que satisfazem o sistema (e identificar se são máximo ou mínimo).
Informações relevantes que vamos usar:
  • A restrição pode ser escrita como g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0.
  • A ideia do método de Lagrange é buscar pontos em que o gradiente de f seja paralelo ao gradiente de g, introduzindo um multiplicador \lambda.

Passo 2

A formulação do método de multiplicadores de Lagrange:
Explicando a ideia (passo-a-passo e intuitivo):
  • \nabla f(x,y,z) é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de f.
  • \nabla g(x,y,z) é um vetor normal à superfície (aqui, plano) dada pela restrição g=0.
  • No ponto extremo restrito à superfície, a direção de maior crescimento de f não pode ter componente tangencial à superfície (caso contrário poderíamos variar dentro da superfície para aumentar ou diminuir f). Logo \nabla f deve ser paralelo a \nabla g.
  • Escreve-se isso como \nabla f=\lambda\,\nabla g para algum escalar \lambda, junto com a condição g=0.
Agora montamos explicitamente:
Calcule os gradientes.
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=(2x,2y,2z).
\nabla g(x,y,z)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)=(1,2,3).
A equação \nabla f=\lambda\nabla g gera três equações escalares:
2x=\lambda,
2y=2\lambda,
2z=3\lambda.
E devemos acompanhar com a restrição:
x+2y+3z=6.
Esse conjunto de quatro equações (três das componentes mais a restrição) é o sistema de Lagrange completo pedido no item (a).

Passo 3

Resolver o sistema obtido:
Das três primeiras equações isolamos x,y,z em função de \lambda:
x=\frac{\lambda}{2},
y=\frac{2\lambda}{2}=\lambda,
z=\frac{3\lambda}{2}.
Substituir essas expressões na restrição x+2y+3z=6:
\frac{\lambda}{2}+2\lambda+3\cdot\frac{3\lambda}{2}=6.
Calcule passo a passo os coeficientes:
\frac{\lambda}{2}+2\lambda=\frac{1}{2}\lambda+\frac{4}{2}\lambda=\frac{5}{2}\lambda,
3\cdot\frac{3\lambda}{2}=\frac{9}{2}\lambda.
Somando:
\frac{5}{2}\lambda+\frac{9}{2}\lambda=\frac{14}{2}\lambda=7\lambda.
Logo
7\lambda=6 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{6}{7}.

Passo 4

Encontrar as coordenadas do ponto crítico usando \lambda=\dfrac{6}{7}:
x=\frac{\lambda}{2}=\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{7},
y=\lambda=\frac{6}{7},
z=\frac{3\lambda}{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{6}{7}=\frac{9}{7}.
Verificação rápida (checar a restrição):
x+2y+3z=\frac{3}{7}+2\cdot\frac{6}{7}+3\cdot\frac{9}{7}=\frac{3+12+27}{7}=\frac{42}{7}=6,
ok.
Calcular o valor de f nesse ponto (valor mínimo):
f\bigl(\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7},\tfrac{9}{7}\bigr)=\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{9}{7}\right)^{2} =\frac{9+36+81}{49}=\frac{126}{49}=\frac{18}{7}.
Agora justificar por que esse ponto é um mínimo e se há máximo:
  • Interpretação geométrica simples e convincente: f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} é o quadrado da norma do vetor \mathbf{r}=(x,y,z). A restrição x+2y+3z=6 é um plano com vetor normal \mathbf{a}=(1,2,3).
  • Qualquer ponto \mathbf{r} do plano pode ser escrito como \mathbf{r}=\mathbf{r}_\parallel+\mathbf{u}, onde \mathbf{r}_\parallel é paralelo a \mathbf{a} (a projeção do plano na direção de \mathbf{a}) e \mathbf{u} é um vetor no plano ortogonal a \mathbf{a}. Então
\|\mathbf{r}\|^{2}=\|\mathbf{r}_\parallel\|^{2}+\|\mathbf{u}\|^{2},
porque \mathbf{r}_\parallel e \mathbf{u} são ortogonais. Para minimizar \|\mathbf{r}\|^{2} sobre o plano é necessário escolher \mathbf{u}=\mathbf{0}, ou seja o ponto do plano mais próximo da origem é exatamente a projeção do ponto que satisfaz x+2y+3z=6 ao longo de \mathbf{a}. Esse é um ponto único — portanto o ponto encontrado é o mínimo global restrito ao plano.
  • Não existe máximo porque o plano é ilimitado; movendo-se arbitrariamente longe na direção tangencial ao plano faz \|\mathbf{r}\|^{2} crescer sem limite, então f não tem máximo sobre a restrição.

Passo 5

Resumo final dos pontos críticos:
  • Há um único ponto crítico dado por \left(\dfrac{3}{7},\dfrac{6}{7},\dfrac{9}{7}\right).
  • Esse ponto é o mínimo restrito e o valor mínimo é \dfrac{18}{7}.
  • Não existe máximo (função não é limitada acima na restrição).

Resposta

Ponto mínimo: \left(\dfrac{3}{7},\dfrac{6}{7},\dfrac{9}{7}\right) com valor mínimo f=\dfrac{18}{7}.
Não existe máximo sobre a restrição x+2y+3z=6.

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