Determine os máximos e mínimos da função
sujeita à restrição
Faça:
a) A montagem completa do sistema de Lagrange;
b) A determinação dos pontos críticos;
a) A montagem completa do sistema de Lagrange;
b) A determinação dos pontos críticos;
Passo 1
O enunciado dá a função objetivo e a restrição e pede duas coisas:
- Função objetivo:
. - Restrição linear:
.
As perguntas são:
a) Montar o sistema de Lagrange completo (ou seja, escrever as equações do método);
b) Determinar os pontos críticos que satisfazem o sistema (e identificar se são máximo ou mínimo).
a) Montar o sistema de Lagrange completo (ou seja, escrever as equações do método);
b) Determinar os pontos críticos que satisfazem o sistema (e identificar se são máximo ou mínimo).
Informações relevantes que vamos usar:
- A restrição pode ser escrita como
. - A ideia do método de Lagrange é buscar pontos em que o gradiente de
seja paralelo ao gradiente de , introduzindo um multiplicador .
Passo 2
A formulação do método de multiplicadores de Lagrange:
Explicando a ideia (passo-a-passo e intuitivo):
-
é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de . -
é um vetor normal à superfície (aqui, plano) dada pela restrição . - No ponto extremo restrito à superfície, a direção de maior crescimento de
não pode ter componente tangencial à superfície (caso contrário poderíamos variar dentro da superfície para aumentar ou diminuir ). Logo deve ser paralelo a . - Escreve-se isso como
para algum escalar , junto com a condição .
Agora montamos explicitamente:
Calcule os gradientes.
Calcule os gradientes.
A equação
gera três equações escalares:
E devemos acompanhar com a restrição:
Esse conjunto de quatro equações (três das componentes mais a restrição) é o sistema de Lagrange completo pedido no item (a).
Passo 3
Resolver o sistema obtido:
Das três primeiras equações isolamos
em função de
:
Substituir essas expressões na restrição
:
Calcule passo a passo os coeficientes:
Somando:
Logo
Passo 4
Encontrar as coordenadas do ponto crítico usando
:
Verificação rápida (checar a restrição):
ok.
Calcular o valor de
nesse ponto (valor mínimo):
Agora justificar por que esse ponto é um mínimo e se há máximo:
- Interpretação geométrica simples e convincente:
é o quadrado da norma do vetor . A restrição é um plano com vetor normal . - Qualquer ponto
do plano pode ser escrito como , onde é paralelo a (a projeção do plano na direção de ) e é um vetor no plano ortogonal a . Então
porque
e
são ortogonais. Para minimizar
sobre o plano é necessário escolher
, ou seja o ponto do plano mais próximo da origem é exatamente a projeção do ponto que satisfaz
ao longo de
. Esse é um ponto único — portanto o ponto encontrado é o mínimo global restrito ao plano.
- Não existe máximo porque o plano é ilimitado; movendo-se arbitrariamente longe na direção tangencial ao plano faz
crescer sem limite, então não tem máximo sobre a restrição.
Passo 5
Resumo final dos pontos críticos:
- Há um único ponto crítico dado por
. - Esse ponto é o mínimo restrito e o valor mínimo é
. - Não existe máximo (função não é limitada acima na restrição).
Resposta
Ponto mínimo:
com valor mínimo
.
Não existe máximo sobre a restrição
.