Uma partícula se desloca sobre o eixo \chi de acordo com uma função posição \chi=\chi(t). Sendo v(t)=x^{\prime}(t) a função velocidade da partícula e a(t)= \chi^{\prime \prime}(t) a função aceleração da partícula, determine x= \chi(\mathrm{t}) nos casos abaixo:
\mathrm{a}(\mathrm{t})=-e^{2 \mathrm{t}}, v(0)=1 e x(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a aceleração e as condições iniciais e pede a posição como função do tempo. Dados e pedidos (peguei tudo do enunciado):
  • Aceleração: \chi''(t) = -e^{2t}.
  • Condições iniciais: \chi'(0)=1 (velocidade inicial) e \chi(0)=1 (posição inicial).
    O que se pede: determinar a função posição \chi(t) que satisfaça \chi''(t) = -e^{2t} e as condições iniciais acima.

Passo 2

Lembrete e ideia para resolver (aula rápida): aceleração, velocidade e posição estão relacionadas por derivadas/integral:
  • \chi''(t) é a derivada de \chi'(t).
  • Para obter a velocidade a partir da aceleração, integra-se: \chi'(t)=\int \chi''(t)\,dt, surgindo uma constante de integração.
  • Para obter a posição a partir da velocidade, integra-se novamente: \chi(t)=\int \chi'(t)\,dt, surgindo outra constante.
Fórmula útil de integração que usaremos: para uma constante a\neq 0,
\int e^{a t}\,dt=\frac{1}{a}e^{a t}+C.
No nosso caso a=2, então \int e^{2t}\,dt=\tfrac{1}{2}e^{2t}+C.

Passo 3

Integramos a aceleração para obter a velocidade (aplicando a fórmula acima). Temos
\chi''(t)=-e^{2t}\quad\Rightarrow\quad \chi'(t)=\int -e^{2t}\,dt = -\frac{1}{2}e^{2t}+C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração que será determinada pela condição inicial da velocidade.

Passo 4

Usamos a condição \chi'(0)=1 para achar C_{1}. Substituindo t=0 em \chi'(t):
\chi'(0)=-\frac{1}{2}e^{0}+C_{1}=-\frac{1}{2}+C_{1}=1.
Assim
C_{1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Portanto a velocidade é
\chi'(t)=-\frac{1}{2}e^{2t}+\frac{3}{2}.

Passo 5

Agora integramos \chi'(t) para obter \chi(t). Integramos termo a termo:
\chi(t)=\int\left(-\frac{1}{2}e^{2t}+\frac{3}{2}\right)dt = -\frac{1}{2}\int e^{2t}dt + \frac{3}{2}\int 1\,dt.
Usando \int e^{2t}dt=\tfrac{1}{2}e^{2t} e \int 1\,dt=t, obtemos
\chi(t)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2t}+\frac{3}{2}t+C_{2} =-\frac{1}{4}e^{2t}+\frac{3}{2}t+C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.

Passo 6

Determinamos C_{2} com a condição \chi(0)=1. Substituindo t=0 em \chi(t):
\chi(0)=-\frac{1}{4}e^{0}+\frac{3}{2}\cdot 0 + C_{2}=-\frac{1}{4}+C_{2}=1.
Logo
C_{2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.

Passo 7

Resumo do que encontramos (não é apenas repetir, é checar): as constantes são C_{1}=\tfrac{3}{2} e C_{2}=\tfrac{5}{4}. A posição final será a função obtida após integrar duas vezes e aplicar as condições iniciais.

Resposta

\chi(t)=-\frac{1}{4}e^{2t}+\frac{3}{2}t+\frac{5}{4}

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