Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
e
Passo 1
O enunciado dá a aceleração e as condições iniciais e pede a posição como função do tempo. Dados e pedidos (peguei tudo do enunciado):
- Aceleração:
. - Condições iniciais:
(velocidade inicial) e (posição inicial).
O que se pede: determinar a função posiçãoque satisfaça e as condições iniciais acima.
Passo 2
Lembrete e ideia para resolver (aula rápida): aceleração, velocidade e posição estão relacionadas por derivadas/integral:
-
é a derivada de . - Para obter a velocidade a partir da aceleração, integra-se:
, surgindo uma constante de integração. - Para obter a posição a partir da velocidade, integra-se novamente:
, surgindo outra constante.
Fórmula útil de integração que usaremos: para uma constante
,
No nosso caso
, então
.
Passo 3
Integramos a aceleração para obter a velocidade (aplicando a fórmula acima). Temos
onde
é a constante de integração que será determinada pela condição inicial da velocidade.
Passo 4
Usamos a condição
para achar
. Substituindo
em
:
Assim
Portanto a velocidade é
Passo 5
Agora integramos
para obter
. Integramos termo a termo:
Usando
e
, obtemos
onde
é a segunda constante de integração.
Passo 6
Determinamos
com a condição
. Substituindo
em
:
Logo
Passo 7
Resumo do que encontramos (não é apenas repetir, é checar): as constantes são
e
. A posição final será a função obtida após integrar duas vezes e aplicar as condições iniciais.