Uma indústria modela o custo de produção de determinado componente pela função
, onde: x representa a quantidade de matéria-prima utilizada e y representa o tempo de processamento.
Determine:
a) O ponto de custo mínimo;
b) O valor mínimo do custo;
a) O ponto de custo mínimo;
b) O valor mínimo do custo;
Passo 1
O enunciado dá a função de custo
onde
é a quantidade de matéria-prima e
é o tempo de processamento. Pede-se:
(a) o ponto \emph{(x,y)} em que o custo é mínimo;
(b) o valor mínimo do custo.
(a) o ponto \emph{(x,y)} em que o custo é mínimo;
(b) o valor mínimo do custo.
As informações relevantes são: os coeficientes dos termos quadráticos (
para
e
para
), os termos lineares (
e
) e a constante
.
Passo 2
Vou usar o método de completar o quadrado para cada variável separadamente — é direto, envolve só álgebra e é o jeito mais básico para esse tipo de função quadrática. A ideia: escrever
como soma de quadrados (sempre não negativos) mais uma constante; daí o mínimo aparece quando os quadrados são zero.
Antes de aplicar, lembro a fórmula básica de completar o quadrado para um quadrático em uma variável.
Passo 3
Lembrete: para uma expressão quadrática genérica
(com
) podemos escrever
Isso transforma o polinômio numa constante mais um quadrado perfeito. Exemplo rápido:
, porque aqui
e
.
Passo 4
Agora aplico completar o quadrado separadamente nos termos em
e em
.
Para os termos em
:
Usando a fórmula com
e
dentro do parêntese,
Portanto
Para os termos em
:
De forma análoga,
então
Agora substituo essas expressões em
:
Somando as constantes
obtenho
. Logo
Passo 5
Interpretação: os termos
e
são quadrados, portanto sempre não negativos. Assim a soma
é
para todos os
. O menor valor que essa soma pode ter é
, que ocorre quando
e
, isto é, quando
e
.
Portanto o custo é mínimo em
, e substituindo esses valores em
(ou olhando para a forma acima) o valor mínimo é
Passo 6
Verificação rápida por derivadas parciais (para dar segurança): as derivadas parciais são
Igualando a zero:
A matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) é
cuja diagonal principal tem valores positivos
e
, logo
é definida positiva e o ponto crítico
é um mínimo. Isso confirma o resultado obtido por completar o quadrado.]