Uma indústria modela o custo de produção de determinado componente pela função C(x, y)=2 x^{2}+3 y^{2}-4 x-6 y+10, onde: x representa a quantidade de matéria-prima utilizada e y representa o tempo de processamento.
Determine:
a) O ponto de custo mínimo;
b) O valor mínimo do custo;

Passo 1

O enunciado dá a função de custo
C(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-4x-6y+10,
onde x é a quantidade de matéria-prima e y é o tempo de processamento. Pede-se:
(a) o ponto \emph{(x,y)} em que o custo é mínimo;
(b) o valor mínimo do custo.
As informações relevantes são: os coeficientes dos termos quadráticos ( 2 para x^{2} e 3 para y^{2}), os termos lineares ( -4x e -6y) e a constante 10.

Passo 2

Vou usar o método de completar o quadrado para cada variável separadamente — é direto, envolve só álgebra e é o jeito mais básico para esse tipo de função quadrática. A ideia: escrever C(x,y) como soma de quadrados (sempre não negativos) mais uma constante; daí o mínimo aparece quando os quadrados são zero.
Antes de aplicar, lembro a fórmula básica de completar o quadrado para um quadrático em uma variável.

Passo 3

Lembrete: para uma expressão quadrática genérica ax^{2}+bx (com a\neq0) podemos escrever
ax^{2}+bx = a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right) = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right].
Isso transforma o polinômio numa constante mais um quadrado perfeito. Exemplo rápido: x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4, porque aqui a=1 e b=-4.

Passo 4

Agora aplico completar o quadrado separadamente nos termos em x e em y.
Para os termos em x:
2x^{2}-4x = 2\left(x^{2}-2x\right).
Usando a fórmula com a=1 e b=-2 dentro do parêntese,
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1.
Portanto
2x^{2}-4x = 2\big((x-1)^{2}-1\big)=2(x-1)^{2}-2.
Para os termos em y:
3y^{2}-6y = 3\left(y^{2}-2y\right).
De forma análoga,
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1,
então
3y^{2}-6y = 3\big((y-1)^{2}-1\big)=3(y-1)^{2}-3.
Agora substituo essas expressões em C(x,y):
C(x,y)=\big[2(x-1)^{2}-2\big]+\big[3(y-1)^{2}-3\big]+10.
Somando as constantes -2-3+10 obtenho 5. Logo
C(x,y)=2(x-1)^{2}+3(y-1)^{2}+5.

Passo 5

Interpretação: os termos (x-1)^{2} e (y-1)^{2} são quadrados, portanto sempre não negativos. Assim a soma 2(x-1)^{2}+3(y-1)^{2} é \geq 0 para todos os x,y. O menor valor que essa soma pode ter é 0, que ocorre quando (x-1)^{2}=0 e (y-1)^{2}=0, isto é, quando x=1 e y=1.
Portanto o custo é mínimo em x=1,\\ y=1, e substituindo esses valores em C (ou olhando para a forma acima) o valor mínimo é
C_{\min}=5.

Passo 6

Verificação rápida por derivadas parciais (para dar segurança): as derivadas parciais são
\frac{\partial C}{\partial x}=4x-4,\qquad \frac{\partial C}{\partial y}=6y-6.
Igualando a zero:
4x-4=0 \Rightarrow x=1,\qquad 6y-6=0 \Rightarrow y=1.
A matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) é
H=\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & 6\end{pmatrix},
cuja diagonal principal tem valores positivos 4 e 6, logo H é definida positiva e o ponto crítico (1,1) é um mínimo. Isso confirma o resultado obtido por completar o quadrado.]

Resposta

(1,1)
5

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