- Ache as dimensões da caixa retangular de volume máximo que tenha três de suas faces nos planos coordenados, um vértice na origem, e outro vértice no primeiro octante sobre o plano
.
Passo 1
O enunciado dá uma caixa retangular no primeiro octante cujas três faces coincidem com os planos coordenados, um vértice está na origem e o vértice oposto está sobre o plano
. Pede-se: encontrar as dimensões da caixa (os comprimentos dos três lados paralelos aos eixos
) que tornam o volume da caixa máximo.
Informações relevantes do enunciado:
- As arestas da caixa ao longo dos eixos têm comprimentos
, e , todos . - O vértice oposto à origem está sobre o plano
. - O volume da caixa é
. - Queremos maximizar
sujeito à restrição linear dada pelo plano e à condição de primeiro octante ( ).
Passo 2
Definimos as variáveis:
= comprimento na direção do eixo
,
= comprimento na direção do eixo
,
= comprimento na direção do eixo
.
A restrição do plano relaciona as três variáveis:
Como queremos reduzir o problema para duas variáveis, isolamos
em função de
e
:
Aqui é importante notar que, por estarmos no primeiro octante, temos também a condição
ou seja, o par
está dentro do triângulo viável no plano
.
Passo 3
Escrevemos o volume como função de duas variáveis substituindo
:
Esse é agora o problema de máximo de uma função de duas variáveis definido no domínio
Escolha do método: como a restrição já foi usada para eliminar
, a forma direta e mais simples é calcular as derivadas parciais de
, igualá-las a zero e resolver o sistema para encontrar pontos críticos. Isso é contado como cálculo básico de funções de várias variáveis e é suficiente aqui.
Passo 4
Expandimos
para facilitar as derivadas:
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero (condição de ponto crítico):
Para um extremo interior com
e
(o que esperamos para o máximo útil), os fatores
e
não são nulos, então devemos ter
Passo 6
Resolvemos o sistema linear
Multiplicando a segunda equação por
obtemos
. Subtraindo a primeira equação dessa, temos
Substituindo
em
:
Passo 7
Calculamos
usando a restrição do plano:
Portanto o ponto crítico interior é
.
Passo 8
Precisamos verificar que esse ponto dá um máximo. Podemos usar o teste da matriz Hessiana (segunda derivadas). As segundas derivadas são:
No ponto
temos
O determinante da Hessiana é
e além disso
. Essas duas condições implicam que o ponto é um máximo local. Como na fronteira viável (quando
ou
ou
) o volume é zero, e o máximo local encontrado tem volume positivo, este é o máximo global no domínio viável.
Passo 9
Conclusão: as dimensões da caixa que maximizam o volume são