Considere a função f(x, y)=x^3-y^3-6 x y+3.
(1 , 5) Encontre os valores extremos absolutos de f no conjunto
K=(x, y) in R^2: y >= 0, y-2 <= x <= 0

Passo 1

A questão pede os extremos absolutos de uma função de duas variáveis no conjunto fechado e limitado
Temos a função f(x,y)=x^3-y^3-6xy+3 e o conjunto
K=(x,y)in R^2:y>=0,;y-2<= x<=0
Vamos precisar de cálculo de pontos críticos no interior (gradiente) e depois examinar as fronteiras de K.

Passo 2

Para procurar extremos no interior de K, calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=(partial fpartial x,partial fpartial y)=(3x^2-6y,,-3y^2-6x)
Anulamos cada componente:
3x^2-6y=0Rightarrow y=x^22,
-3y^2-6x=0Rightarrow x=-y^22
Substituindo y=tfracx^22 em x=-y^2/2 obtemos
$$x=-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{x2}{2}\Bigr)2=-\frac{x^4}{8};
\Longrightarrow;x\Bigl(1+\frac{x^3}{8}\Bigr)=0,$$
logo x=-12l(x^22r)^2=-x^48; Longrightarrow;xl(1+x^38r)=0, ou x=0. Isso dá dois candidatos: x^3=-8Rightarrow x=-2 e (0,0).

Passo 3

Agora verificamos se esses pontos estão em K:
  • Para (0,0): y=0 e y-2=-2<= x=0<=0, então (0,0) está na fronteira de K.
  • Para (-2,2): y-2=0, mas x=-2<0, não satisfaz y-2<= x, então está fora de K.
    Concluímos que não há pontos críticos no interior de K propriamente dito.

Passo 4

Como K não tem críticos internos, analisamos as três arestas (fronteiras) onde a função pode atingir extremos:
  1. y=0,;xin[-2,0].
  2. x=0,;yin[0,2].
  3. x=y-2,;yin[0,2].
    Em cada caso reduzimos f a uma função de uma variável e buscamos extremos.

Passo 5

Para a aresta 1 ( y=0) temos
f(x,0)=x^3+3, xin[-2,0]
Derivada f'(x)=3x^2>=0, então é crescente em todo o intervalo. Logo:
- Mínimo em x=-2: f(-2,0)=(-2)^3+3=-8+3=-5.
- Máximo em x=0: f(0,0)=3.

Passo 6

Para a aresta 2 ( x=0) temos
f(0,y)=-y^3+3, yin[0,2]
Derivada ddyf(0,y)=-3y^2<=0, decrescente. Logo:
- Máximo em y=0: f(0,0)=3.
- Mínimo em y=2: f(0,2)=-8+3=-5.

Passo 7

Para a aresta 3 ( x=y-2) parametrize y=t, tin[0,2], então x=t-2 e
f(t-2,t)=(t-2)^3-t^3-6(t-2)t+3
Expandindo e simplificando obtemos
f(t)= -12t^2+24t-5, tin[0,2]
Derivada f'(t)=-24t+24, zera em t=1. Avaliando:
  • t=1 (ponto (-1,1)): f(1)= -12+24-5=7.
  • Extremos em extremidades: t=0 e t=2 dão f=-5.

Passo 8

Reunindo os candidatos e seus valores:
  • ( -2,0): f=-5.
  • (0,0): f=3.
  • (0,2): f=-5.
  • (-1,1): f=7.
    Comparando, o valor máximo absoluto é 7 em (-1,1) e o valor mínimo absoluto é -5, que ocorre em (-2,0) e (0,2).

Resposta

A função atinge máximo absoluto f(-1,1)=7 e mínimo absoluto f(-2,0)=f(0,2)=-5.

Exercícios relacionados