Considere a função
.
Encontre os valores extremos absolutos de
no conjunto
Passo 1
A questão pede os extremos absolutos de uma função de duas variáveis no conjunto fechado e limitado
Temos a função e o conjunto
Temos a função
Vamos precisar de cálculo de pontos críticos no interior (gradiente) e depois examinar as fronteiras de
Passo 2
Para procurar extremos no interior de
, calculamos o gradiente de
:
Anulamos cada componente:
Substituindo
$$x=-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{x2}{2}\Bigr)2=-\frac{x^4}{8};
\Longrightarrow;x\Bigl(1+\frac{x^3}{8}\Bigr)=0,$$
logo ou
. Isso dá dois candidatos:
e
.
logo
Passo 3
Agora verificamos se esses pontos estão em
:
- Para
: e , então está na fronteira de . - Para
: , mas , não satisfaz , então está fora de .
Concluímos que não há pontos críticos no interior depropriamente dito.
Passo 4
Como
não tem críticos internos, analisamos as três arestas (fronteiras) onde a função pode atingir extremos:
-
. -
. -
.
Em cada caso reduzimosa uma função de uma variável e buscamos extremos.
Passo 5
Para a aresta 1 (
) temos
Derivada
- Mínimo em
- Máximo em
Passo 6
Para a aresta 2 (
) temos
Derivada
- Máximo em
- Mínimo em
Passo 7
Para a aresta 3 (
) parametrize
,
, então
e
Expandindo e simplificando obtemos
Derivada
, zera em
. Avaliando:
-
(ponto ): . - Extremos em extremidades:
e dão .
Passo 8
Reunindo os candidatos e seus valores:
-
: . -
: . -
: . -
: .
Comparando, o valor máximo absoluto éem e o valor mínimo absoluto é , que ocorre em e .
Resposta
A função atinge máximo absoluto
e mínimo absoluto
.