Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Escolha uma opção:
y=3 e^-t+22-e^t+222

Passo 1

O problema é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais em t=1. Vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da EDO. Para y’’+8y’-9y=0, a equação característica é
r^2 + 8r - 9 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica temos
r = -8 pm raiz64 + 362 = -8 pm 102,
o que dá as raízes r1 = 1 e r2 = -9. Logo, a solução geral é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-9t

Passo 4

Calculamos a derivada
y'(t) = C1 e^t - 9 C2 e^-9t,
e aplicamos as condições iniciais em t=1:
y(1) = C1 e + C2 e^-9 = 1,
y'(1) = C1 e - 9 C2 e^-9 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 e + C2 e^-9 = 1, C1 e = 9 C2 e^-9,
obtemos
C2 = e^910, C1 = 910e

Passo 6

Substituindo em y(t)=C1 e^t + C2 e^-9t, chegamos à solução particular
$$y(t) = \frac{9}{10e}e^t + \frac{e9}{10}e{-9t}.
$$
Comparando com a opção dada, vemos que ela não coincide com essa expressão, portanto a opção proposta está incorreta.

Resposta

y(t)=910ee^t+e^910e^-9t

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