O problema é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais em t=1. Vamos usar a equação característica para resolver.
Passo 2
Escrevemos a equação característica da EDO. Para y’’+8y’-9y=0, a equação característica é
r^2 + 8r - 9 = 0
Passo 3
Resolvendo a equação característica temos
r = -8 pm raiz64 + 362 = -8 pm 102,
o que dá as raízes r1 = 1 e r2 = -9. Logo, a solução geral é y(t) = C1 e^t + C2 e^-9t
Passo 4
Calculamos a derivada
y'(t) = C1 e^t - 9 C2 e^-9t,
e aplicamos as condições iniciais em t=1: y(1) = C1 e + C2 e^-9 = 1,
y'(1) = C1 e - 9 C2 e^-9 = 0
Passo 5
Resolvendo o sistema
C1 e + C2 e^-9 = 1, C1 e = 9 C2 e^-9,
obtemos C2 = e^910, C1 = 910e
Passo 6
Substituindo em y(t)=C1 e^t + C2 e^-9t, chegamos à solução particular
$$y(t) = \frac{9}{10e}e^t + \frac{e9}{10}e{-9t}.
$$
Comparando com a opção dada, vemos que ela não coincide com essa expressão, portanto a opção proposta está incorreta.