Considere a função f(x, y)=x^3-y^3-6 x y+3.
(1, 0) Obtenha os pontos críticos de f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=x^3 - y^3 -6xy +3. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e resolver o sistema onde elas se anulam.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação a x: como f(x,y)=x^3 - y^3 -6xy +3, temos partial fpartial x=3x^2 -6y.
Calcular a derivada parcial em relação a y: obtemos partial fpartial y=-3y^2 -6x.

Passo 3

Igualar as derivadas a zero gera o sistema
3x^2 -6y = 0
-3y^2 -6x = 0
Da primeira equação vem y=tfrac12x^2 e da segunda x=-tfrac12y^2.

Passo 4

Substituir x=-tfrac12y^2 em y=tfrac12x^2
y=tfrac12l(-tfrac12y^2r)^2=tfrac18y^4
que implica y-tfrac18y^4=0.

Passo 5

Fatorando y-tfrac18y^4=0 fica
yl(1-tfrac18y^3r)=0
Logo y=0 ou y^3=8 (daí y=2 no caso real).

Passo 6

Para cada y, usamos x=-tfrac12y^2:
  • Se y=0, então x=0.
  • Se y=2, então x=-tfrac12cdot4=-2.

Resposta

Os pontos críticos de f são (0,0) e (-2,2).

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