Seja f(x, y)=clx y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função em duas partes e pede as derivadas parciais em (0,0). O conteúdo é derivada parcial, e vamos usar a definição pelo quociente de diferenças ao longo de cada eixo.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x(0,0), usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como para (h,0)neq(0,0) vale f(h,0)=hcdot0^2h^2+0^2=0 e f(0,0)=0, o quociente fica 0/h=0. Logo o limite é 0.

Passo 3

Para calcular partial fpartial y(0,0), fazemos
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h
Para (0,h)neq(0,0) temos f(0,h)=0cdot h^20+h^2=0. Então o quociente é 0/h=0 e o limite também é 0.

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0.

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