Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,2), derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -2 na direção
. Calcule:
para
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma função diferenciável f em
(1,2) cuja derivada direcional vale 3 na direção
e -2 na direção
. O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente, e queremos calcular a derivada direcional de f em (1,2) na direção
.
(1,2) cuja derivada direcional vale 3 na direção
Passo 2
A derivada direcional em uma direção unitária
é dada por
. Primeiro normalizamos as direções dadas:
Então temos as equações
Passo 3
Montamos o sistema para
e
:
Resolvendo, da primeira equação
Passo 4
Agora normalizamos
:
A derivada direcional em
[D_{\vec u}f(1,2)=\nabla f\cdot\vec u=\frac{1}{\sqrt2}(f_x-f_y)=\frac{1}{\sqrt2}\Bigl( -\frac{\sqrt5}{5}-\frac{8\sqrt5}{5}\Bigr)=-\frac{9\sqrt5}{5\sqrt2}=-\frac{9\sqrt{10}}{10}.
Resposta
-\nfrac{9\sqrt{10}}{10}