Uma função diferenciável f tem, no ponto (1,2), derivada direcional igual a 3 na direção i+2 j e igual a -2 na direção 2 i-j. Calcule:
(1, 0) Du f(1,2) para u=i-j.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função diferenciável f em
(1,2) cuja derivada direcional vale 3 na direção
vec i+2vec j e -2 na direção 2vec i-vec j. O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente, e queremos calcular a derivada direcional de f em (1,2) na direção vec u=vec i-vec j.

Passo 2

A derivada direcional em uma direção unitária vec u é dada por Dvec uf(1,2)=nabla f(1,2)cdotvec u. Primeiro normalizamos as direções dadas:
vec u1=1raiz5(1,2),vec u2=1raiz5(2,-1)
Então temos as equações
nabla fcdotvec u1=3 Rightarrow fx+2fyraiz5=3,
nabla fcdotvec u2=-2 Rightarrow 2fx-fyraiz5=-2

Passo 3

Montamos o sistema para fx e fy:
fx+2fy=3raiz52fx-fy=-2raiz5
Resolvendo, da primeira equação fx=3raiz5-2fy. Substituindo na segunda:
2(3raiz5-2fy)-fy=-2raiz5 Rightarrow -5fy=-8raiz5 Rightarrow fy=8raiz55,
fx=3raiz5-2cdot8raiz55=-raiz55

Passo 4

Agora normalizamos vec u=vec i-vec j:
vec u=1raiz2(1,-1)
A derivada direcional em vec u é
[D_{\vec u}f(1,2)=\nabla f\cdot\vec u=\frac{1}{\sqrt2}(f_x-f_y)=\frac{1}{\sqrt2}\Bigl( -\frac{\sqrt5}{5}-\frac{8\sqrt5}{5}\Bigr)=-\frac{9\sqrt5}{5\sqrt2}=-\frac{9\sqrt{10}}{10}.

Resposta

-\nfrac{9\sqrt{10}}{10}

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