Considere a função
.
i) Ache os ponto criticos
ii) Clasifique os pontos usando o método da matriz Hessiana.
i) Ache os ponto criticos
ii) Clasifique os pontos usando o método da matriz Hessiana.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Ache os pontos críticos de
. - Classifique esses pontos usando o método da matriz Hessiana.
Informações relevantes fornecidas:
A função
é explicitamente dada por expressão polinomial em
e
.
Precisamos encontrar todos os pontos
onde o gradiente de
é nulo (ou não existe) e então aplicar o teste da Hessiana para classificá-los.
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicando devagar, como combinado)?
Um ponto é crítico se as derivadas parciais de primeira ordem existem e
Um ponto
Na prática, calculamos as derivadas parciais
e
, igualamos a zero e resolvemos o sistema resultante.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem passo a passo.
A derivada parcial em relação a
é obtida tratando
como constante:
Fatorando:
A derivada parcial em relação a
é obtida tratando
como constante:
Passo 4
Agora resolvemos o sistema
Resolvendo a equação em
:
Portanto as soluções para
são
Resolvendo a equação em
:
Como as equações em
e
são independentes (a função é soma de termos em
e termos em
), os pontos críticos são todas as combinações dos valores de
e
. Logo existem
pontos críticos:
Passo 5
Agora a parte da classificação: o que é a matriz Hessiana e qual é o teste?
A matriz Hessiana
de
em
é a matriz das segundas derivadas parciais:
onde
,
e
(se existente).
No caso de duas variáveis, o teste clássico (segundo teste de derivadas) diz:
- Defina
- Se
e em , então tem um mínimo local em . - Se
e em , então tem um máximo local em . - Se
em , então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição curta:
significa que as curvaturas nas direções
e
têm o mesmo sinal (assegurando extremum), e o sinal de
indica se é concavidade pra cima (mínimo) ou pra baixo (máximo).
indica curvaturas opostas => sela.]
Passo 6
Calculemos as segundas derivadas (tudo mostrando):
A derivada de em relação a
é
A derivada de
A derivada mista
(derivando
em relação a
) é
porque
não depende de
. Igualmente
.
A derivada de em relação a
é
A derivada de
Portanto a Hessiana é diagonal:
e o determinante é
Passo 7
Agora avaliamos
,
e
nos seis pontos críticos, verificando sinais para classificar.
Primeiro compute valores úteis:
Agora cada ponto:
-
:
Como
, é ponto de sela.
-
:
Aqui
e
, logo é um máximo local.
-
:
Como
e
, é um mínimo local.
-
:
Como
, é ponto de sela.
-
: mesmo que , então
Logo é mínimo local.
-
:
Logo é ponto de sela.
Resumo verbal rápido: os pontos com
tendem a dar
; com
temos
então esses (com
) são mínimos, enquanto trocar o sinal de
pode trocar o tipo por causa de
mudando de sinal; no caso
e
deu máximo porque ambos segundos derivados ficaram negativos.
Força aí — acabou! Você já consegue reproduzir o processo: achar gradiente, resolver igual zero, calcular Hessiana e aplicar o teste.