Considere a função f(x, y)=2 x^{4}-x^{2}-2 y+3 y^{3}.
i) Ache os ponto criticos
ii) Clasifique os pontos usando o método da matriz Hessiana.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2x^{4}-x^{2}-2y+3y^{3}
e pede duas coisas:
  1. Ache os pontos críticos de f.
  2. Classifique esses pontos usando o método da matriz Hessiana.
Informações relevantes fornecidas:
A função f é explicitamente dada por expressão polinomial em x e y.
Precisamos encontrar todos os pontos (x,y) onde o gradiente de f é nulo (ou não existe) e então aplicar o teste da Hessiana para classificá-los.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicando devagar, como combinado)?
Um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais de primeira ordem existem e
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.
Na prática, calculamos as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}, igualamos a zero e resolvemos o sistema resultante.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem passo a passo.
A derivada parcial em relação a x é obtida tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(2x^{4}-x^{2}\big)=8x^{3}-2x.
Fatorando:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x(4x^{2}-1).
A derivada parcial em relação a y é obtida tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{d}{dy}\big(-2y+3y^{3}\big)=-2+9y^{2}.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} 8x^{3}-2x=0,\\[4pt] -2+9y^{2}=0. \end{cases}
Resolvendo a equação em x:
8x^{3}-2x=0 \;\Longrightarrow\; 2x(4x^{2}-1)=0.
Portanto as soluções para x são
x=0\quad\text{ou}\quad 4x^{2}-1=0 \Rightarrow x^{2}=\tfrac{1}{4}\Rightarrow x=\pm \tfrac{1}{2}.
Resolvendo a equação em y:
-2+9y^{2}=0 \;\Longrightarrow\; 9y^{2}=2 \Rightarrow y^{2}=\tfrac{2}{9}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}.
Como as equações em x e y são independentes (a função é soma de termos em x e termos em y), os pontos críticos são todas as combinações dos valores de x e y. Logo existem 3\times2=6 pontos críticos:
\big(0,\pm \tfrac{\sqrt{2}}{3}\big),\quad \big(\tfrac{1}{2},\pm \tfrac{\sqrt{2}}{3}\big),\quad \big(-\tfrac{1}{2},\pm \tfrac{\sqrt{2}}{3}\big).]

Passo 5

Agora a parte da classificação: o que é a matriz Hessiana e qual é o teste?
A matriz Hessiana H de f em (x,y) é a matriz das segundas derivadas parciais:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} (se existente).
No caso de duas variáveis, o teste clássico (segundo teste de derivadas) diz:
  • Defina D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 em (x,y), então f tem um mínimo local em (x,y).
  • Se D>0 e f_{xx}<0 em (x,y), então f tem um máximo local em (x,y).
  • Se D<0 em (x,y), então (x,y) é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.
Intuição curta: D>0 significa que as curvaturas nas direções x e y têm o mesmo sinal (assegurando extremum), e o sinal de f_{xx} indica se é concavidade pra cima (mínimo) ou pra baixo (máximo). D<0 indica curvaturas opostas => sela.]

Passo 6

Calculemos as segundas derivadas (tudo mostrando):
A derivada de f_x=8x^{3}-2x em relação a x é
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(8x^{3}-2x)=24x^{2}-2.
A derivada mista f_{xy} (derivando f_x em relação a y) é
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(8x^{3}-2x)=0,
porque 8x^{3}-2x não depende de y. Igualmente f_{yx}=0.
A derivada de f_y=-2+9y^{2} em relação a y é
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2+9y^{2})=18y.
Portanto a Hessiana é diagonal:
H(x,y)=\begin{pmatrix} 24x^{2}-2 & 0\\[4pt] 0 & 18y \end{pmatrix},
e o determinante é
D(x,y)=(24x^{2}-2)\cdot(18y).]

Passo 7

Agora avaliamos f_{xx}, f_{yy} e D nos seis pontos críticos, verificando sinais para classificar.
Primeiro compute valores úteis:
\text{Para }x=0:\quad f_{xx}(0,y)=24\cdot 0^{2}-2=-2.
\text{Para }x=\pm \tfrac{1}{2}:\quad f_{xx}\big(\pm\tfrac{1}{2},y\big)=24\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}-2=24\cdot\tfrac{1}{4}-2=6-2=4.
\text{Para }y=\pm \tfrac{\sqrt{2}}{3}:\quad f_{yy}\big(x,\pm\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big)=18\cdot\big(\pm\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big)=\pm 18\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{3}=\pm 6\sqrt{2}.
Agora cada ponto:
  1. \big(0,\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big):
f_{xx}=-2\\ (<0),\qquad f_{yy}=+6\sqrt{2}\\ (>0).
D=( -2)\cdot(6\sqrt{2})=-12\sqrt{2}<0.
Como D<0, é ponto de sela.
  1. \big(0,-\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big):
f_{xx}=-2\\ (<0),\qquad f_{yy}=-6\sqrt{2}\\ (<0).
D=(-2)\cdot(-6\sqrt{2})=+12\sqrt{2}>0.
Aqui D>0 e f_{xx}=-2<0, logo é um máximo local.
  1. \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big):
f_{xx}=4\\ (>0),\qquad f_{yy}=+6\sqrt{2}\\ (>0).
D=4\cdot 6\sqrt{2}=24\sqrt{2}>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, é um mínimo local.
  1. \big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big):
f_{xx}=4\\ (>0),\qquad f_{yy}=-6\sqrt{2}\\ (<0).
D=4\cdot(-6\sqrt{2})=-24\sqrt{2}<0.
Como D<0, é ponto de sela.
  1. \big(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big): mesmo x^{2} que \tfrac{1}{2}, então
f_{xx}=4\\ (>0),\qquad f_{yy}=+6\sqrt{2}\\ (>0),\qquad D=24\sqrt{2}>0.
Logo é mínimo local.
  1. \big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big):
f_{xx}=4\\ (>0),\qquad f_{yy}=-6\sqrt{2}\\ (<0),\qquad D=-24\sqrt{2}<0.
Logo é ponto de sela.
Resumo verbal rápido: os pontos com y>0 tendem a dar f_{yy}>0; com x=\pm\tfrac{1}{2} temos f_{xx}>0 então esses (com y>0) são mínimos, enquanto trocar o sinal de y pode trocar o tipo por causa de f_{yy} mudando de sinal; no caso x=0 e y<0 deu máximo porque ambos segundos derivados ficaram negativos.
Força aí — acabou! Você já consegue reproduzir o processo: achar gradiente, resolver igual zero, calcular Hessiana e aplicar o teste.

Resposta

\big(0,\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big) — ponto de sela.
\big(0,-\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big) — máximo local.
\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big) — mínimo local.
\big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big) — ponto de sela.
\big(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big) — mínimo local.
\big(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{3}\big) — ponto de sela.

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