Terceira Questão (1,0pt) Calcule o fluxo do campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=\left(\cos z+x y^{2}, x e^{-z}, \sin y+x^{2} z\right)

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(\cos z + x y^{2},\; x e^{-z},\; \sin y + x^{2} z\bigr)
e pede para “Calcular o fluxo do campo vetorial”.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{Componentes: }\; F_{1}(x,y,z)=\cos z + x y^{2},\quad F_{2}(x,y,z)=x e^{-z},\quad F_{3}(x,y,z)=\sin y + x^{2} z.
O que NÃO está especificado no enunciado (e é crucial):
  • A superfície S pela qual devemos calcular o fluxo (pode ser uma superfície aberta qualquer ou uma superfície fechada que limita uma região V).
  • Se a superfície é orientada (qual a direção do vetor normal desejado).
    Sem essa informação não é possível dar um valor numérico do fluxo — só podemos descrever métodos e expressões gerais.

Passo 2

O que significa “fluxo” e como se calcula em geral (aula prática passo a passo):
  • O fluxo de \vec{F} através de uma superfície S orientada por um vetor normal unitário \mathbf{n} é
\Phi=\iint_{S}\vec{F}\cdot \mathbf{n}\,dS.
Explique cada termo: \vec{F}\cdot\mathbf{n} é o produto escalar entre o campo e o vetor normal (medida da componente de \vec{F} que “atravessa” a superfície); dS é o elemento de área (positivo); a dupla integral soma essa contribuição por toda a superfície.
  • Se a superfície for dada por uma parametrização \mathbf{r}(u,v) com (u,v) em domínio D, então o vetor normal não unitário é \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v e a fórmula prática usada na prova costuma ser
\Phi=\iint_{D}\vec{F}\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais da parametrização. Isso evita ter que normalizar; o sinal do produto vetorial fixa a orientação.

Passo 3

Outra ferramenta importantíssima (muito usada em provas): Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Explicação didática:
  • Se S é uma superfície fechada, orientada pela normal externa, que limita uma região sólida V, então
\iint_{S}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV,
onde \operatorname{div}\vec{F} é a divergência de \vec{F}. Isso troca uma integral de superfície por uma integral tripla sobre o volume, o que muitas vezes é bem mais fácil.
  • A divergência é definida por
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z},
e cada derivada parcial é tomada mantendo as outras variáveis fixas.

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo dado (isto é uma peça prática que você pode usar se a superfície for fechada):
Calcule cada derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos z + x y^{2}\bigr)=y^{2},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{-z}\bigr)=0\quad\text{(pois \(x e^{-z}\) não depende de \(y\))},ã
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin y + x^{2} z\bigr)=x^{2}.
Somando as três parcelas obtemos a divergência:
\operatorname{div}\vec{F}=x^{2}+y^{2}.
Comentário amigo: olha que legal — a divergência não depende de z; isso frequentemente simplifica muito os cálculos de integrais triplas.

Passo 5

Se S for uma superfície fechada que limita uma região V, então o fluxo pedido é
\Phi=\iiint_{V}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dV.
A partir daqui o que você faz na prova:
  • Identifica a região V (p. ex. bola de raio a, cilindro de raio R e altura h, região entre duas superfícies etc.).
  • Escolhe coordenadas convenientes (cartesianas, cilíndricas (r,\theta,z) ou esféricas (\rho,\varphi,\theta)).
  • Expressa x^{2}+y^{2} e dV nessas coordenadas e avalia a integral tripla.
Vou mostrar um exemplo completo só para você ver o procedimento (exemplo ilustrativo — NÃO é o fluxo pedido, a menos que o enunciado realmente especificasse essa região):
Exemplo: se V é a bola sólida de raio a centrada na origem, podemos usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) com x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Então
\Phi=\iiint_{V}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Isso simplifica para
\Phi=\left(\int_{0}^{a}\rho^{4}\,d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right).
Calcule cada fator:
\int_{0}^{a}\rho^{4}\,d\rho=\frac{a^{5}}{5},\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi= \frac{4}{3}\quad\text{(pode-se derivar usando simetrias e fórmulas beta)}.ó
Multiplicando tudo:
\Phi=\frac{a^{5}}{5}\cdot\frac{4}{3}\cdot 2\pi=\frac{8\pi a^{5}}{15}.
Observação: esse resultado vale só para o caso específico da bola de raio a. Use este tipo de cálculo como modelo quando a sua prova der uma região concreta.

Passo 6

Se, em vez de S fechada, a superfície S for uma superfície aberta com parametrização conhecida \mathbf{r}(u,v), então você deve usar diretamente a fórmula paramétrica:
\Phi=\iint_{D}\vec{F}\bigl(\mathbf{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,du\,dv,
escolhendo a orientação (sinal) corretamente. Isso exige: (i) escrever \mathbf{r}(u,v), (ii) calcular \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v, (iii) formar o produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v, (iv) substituir \vec{F} em termos de u,v e integrar. Novamente, sem a parametrização de S não dá para continuar.

Passo 7

Resumo prático e o que eu preciso que você me confirme (ou o que você deve procurar no enunciado da prova):
  • Se o enunciado disser que S é uma superfície fechada que limita V, então calcule a divergência (feito acima: \operatorname{div}\vec{F}=x^{2}+y^{2}) e avalie
\Phi=\iiint_{V}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dV
na região V dada.
  • Se o enunciado disser que S é uma superfície aberta com parametrização, use a fórmula paramétrica direta.
    Sem a especificação de S (ou de V se for superfície fechada), não há como obter um valor numérico único para o fluxo.

Resposta

Não é possível calcular o fluxo porque o enunciado não especifica a superfície S (ou a região V) pela qual o fluxo deve ser calculado.

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