Terceira Questão (1,0pt) Calcule o fluxo do campo vetorial
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pede para “Calcular o fluxo do campo vetorial”.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
O que NÃO está especificado no enunciado (e é crucial):
- A superfície
pela qual devemos calcular o fluxo (pode ser uma superfície aberta qualquer ou uma superfície fechada que limita uma região ). - Se a superfície é orientada (qual a direção do vetor normal desejado).
Sem essa informação não é possível dar um valor numérico do fluxo — só podemos descrever métodos e expressões gerais.
Passo 2
O que significa “fluxo” e como se calcula em geral (aula prática passo a passo):
- O fluxo de
através de uma superfície orientada por um vetor normal unitário é
Explique cada termo:
é o produto escalar entre o campo e o vetor normal (medida da componente de
que “atravessa” a superfície);
é o elemento de área (positivo); a dupla integral soma essa contribuição por toda a superfície.
- Se a superfície for dada por uma parametrização
com em domínio , então o vetor normal não unitário é e a fórmula prática usada na prova costuma ser
onde
e
são as derivadas parciais da parametrização. Isso evita ter que normalizar; o sinal do produto vetorial fixa a orientação.
Passo 3
Outra ferramenta importantíssima (muito usada em provas): Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Explicação didática:
- Se
é uma superfície fechada, orientada pela normal externa, que limita uma região sólida , então
onde
é a divergência de
. Isso troca uma integral de superfície por uma integral tripla sobre o volume, o que muitas vezes é bem mais fácil.
- A divergência é definida por
e cada derivada parcial é tomada mantendo as outras variáveis fixas.
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo dado (isto é uma peça prática que você pode usar se a superfície for fechada):
Calcule cada derivada parcial:
Calcule cada derivada parcial:
Somando as três parcelas obtemos a divergência:
Comentário amigo: olha que legal — a divergência não depende de
; isso frequentemente simplifica muito os cálculos de integrais triplas.
Passo 5
Se
for uma superfície fechada que limita uma região
, então o fluxo pedido é
A partir daqui o que você faz na prova:
- Identifica a região
(p. ex. bola de raio , cilindro de raio e altura , região entre duas superfícies etc.). - Escolhe coordenadas convenientes (cartesianas, cilíndricas
ou esféricas ). - Expressa
e nessas coordenadas e avalia a integral tripla.
Vou mostrar um exemplo completo só para você ver o procedimento (exemplo ilustrativo — NÃO é o fluxo pedido, a menos que o enunciado realmente especificasse essa região):
Exemplo: se
é a bola sólida de raio
centrada na origem, podemos usar coordenadas esféricas
com
e
. Então
Isso simplifica para
Calcule cada fator:
Multiplicando tudo:
Observação: esse resultado vale só para o caso específico da bola de raio
. Use este tipo de cálculo como modelo quando a sua prova der uma região concreta.
Passo 6
Se, em vez de
fechada, a superfície
for uma superfície aberta com parametrização conhecida
, então você deve usar diretamente a fórmula paramétrica:
escolhendo a orientação (sinal) corretamente. Isso exige: (i) escrever
, (ii) calcular
e
, (iii) formar o produto vetorial
, (iv) substituir
em termos de
e integrar. Novamente, sem a parametrização de
não dá para continuar.
Passo 7
Resumo prático e o que eu preciso que você me confirme (ou o que você deve procurar no enunciado da prova):
- Se o enunciado disser que
é uma superfície fechada que limita , então calcule a divergência (feito acima: ) e avalie
na região
dada.
- Se o enunciado disser que
é uma superfície aberta com parametrização, use a fórmula paramétrica direta.
Sem a especificação de(ou de se for superfície fechada), não há como obter um valor numérico único para o fluxo.
Resposta
Não é possível calcular o fluxo porque o enunciado não especifica a superfície
(ou a região
) pela qual o fluxo deve ser calculado.