Calcule os pontos criticos da seguinte funçāo: f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}+x\right) e^{2 x+x-2 y}. Justifique cada passo realizado até obter a resposta.
Passo 1
O enunciado pede: calcular os pontos críticos da função
f(x,y)=\left(x^{2}-y^{2}+x\right)e^{2x+x-2y},
ou seja encontrar todos os pontos (x,y) onde o gradiente de f é zero ou onde derivadas parciais não existam. Informações dadas e observações imediatas:
A função escrita no enunciado tem o expoente 2x+x-2y, que soma para 3x-2y. Vou usar a forma simplificadaf(x,y)=\left(x^{2}-y^{2}+x\right)e^{3x-2y}.
A função é composta por um polinômio \left(x^{2}-y^{2}+x\right) multiplicado por uma exponencial e^{3x-2y}. Ambas são diferenciáveis em todo \mathbb{R}^2, então as derivadas parciais existem em todo lugar; portanto os pontos críticos são exatamente os pontos onde as derivadas parciais simultaneamente valem zero.
Passo 2
Vou calcular as derivadas parciais. Uso a regra do produto para derivadas parciais: se f(x,y)=g(x,y)\,h(x,y) então
Então y=-x= \tfrac{1}{5}. Assim obtemos outro ponto crítico \bigl(-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5}\bigr).
Passo 9
Verificação rápida: ambas as soluções satisfazem as duas equações originais (pode-se substituir de volta para conferir). Como não há pontos onde as derivadas parciais deixam de existir, os pontos críticos encontrados são exatamente os dois acima.