O consumo de energia y(\mathrm{kWh}) depende da temperatura média x\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) :
Temperatura (\mathrm{x}) Consumo (\mathrm{y})
16 290
18 310
20 350
22 400
Ajuste uma reta y=a x+b e estime o consumo médio quando a temperatura for 17^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá quatro pares (temperatura, consumo) e pede para ajustar uma reta y=ax+b e estimar o consumo médio quando a temperatura for 17^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
\begin{array}{cc} \text{Temperatura }(x)&\text{Consumo }(y)\\hline 16 & 290\\\\ 18 & 310\\\\ 20 & 350\\\\ 22 & 400 \end{array}
Pergunta que precisamos responder: ajustar a reta y=ax+b (ou seja, encontrar a e b) e usar essa reta para estimar o consumo médio para x=17.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática e motivos): vou usar o ajuste por mínimos quadrados (regressão linear simples) — é o método padrão quando queremos uma reta que “melhor” passe por um conjunto de pontos no sentido de minimizar a soma dos quadrados dos desvios verticais. Esse método é o que normalmente se pede em provas para ajustar uma reta y=ax+b a dados empíricos. A vantagem é que há fórmulas diretas para a (declive) e b (intercepto).

Passo 3

Apresentação das fórmulas e interpretação das quantidades:
Defino n como o número de observações, x_i como cada temperatura e y_i como cada consumo. As somas importantes são
S_x=\sum_{i=1}^n x_i,\quad S_y=\sum_{i=1}^n y_i,\quad S_{xx}=\sum_{i=1}^n x_i^2,\quad S_{xy}=\sum_{i=1}^n x_i y_i.
As fórmulas dos coeficientes do ajuste por mínimos quadrados são
a=\frac{nS_{xy}-S_xS_y}{nS_{xx}-(S_x)^2}, \qquad b=\frac{S_y-aS_x}{n}.
Interpretação: a é a variação média de y por unidade de x (aumento de kWh por grau Celsius) e b é o valor de y quando x=0 na reta ajustada (intercepto, aqui sem significado físico direto, mas necessário para a reta).

Passo 4

Calcular as somas a partir dos dados (vou mostrar cada produto para ficar claro):
Número de observações:
n=4.
Soma das temperaturas:
S_x=16+18+20+22=76.
Soma dos consumos:
S_y=290+310+350+400=1350.
Soma dos quadrados das temperaturas:
S_{xx}=16^2+18^2+20^2+22^2=256+324+400+484=1464.
Soma dos produtos x_i y_i:
\begin{aligned} S_{xy}&=16\cdot290+18\cdot310+20\cdot350+22\cdot400\\\ &=4640+5580+7000+8800=26020. \end{aligned}

Passo 5

Calcular o coeficiente angular a substituindo as somas na fórmula e desenvolvendo a conta passo a passo:
a=\frac{nS_{xy}-S_xS_y}{nS_{xx}-(S_x)^2} =\frac{4\cdot26020-76\cdot1350}{4\cdot1464-76^2}.
Calculemos numeradores e denominadores separadamente:
4\cdot26020=104080,\qquad 76\cdot1350=102600,
logo o numerador é
104080-102600=1480.
O denominador:
4\cdot1464=5856,\qquad 76^2=5776,
logo
5856-5776=80.
Portanto
a=\frac{1480}{80}=18{,}5.
Interpretação: a cada aumento de 1^\circ\mathrm{C} a previsão de consumo cresce, em média, 18{,}5 kWh (segundo essa reta).

Passo 6

Calcular o intercepto b com a fórmula e contas detalhadas:
b=\frac{S_y-aS_x}{n} =\frac{1350-18{,}5\cdot76}{4}.
Calcule 18{,}5\cdot76:
18{,}5\cdot76= (18\cdot76)+(0{,}5\cdot76)=1368+38=1406.
Então
1350-1406=-56,
e
b=\frac{-56}{4}=-14.
Interpretação: o intercepto da reta ajustada é -14 kWh (valor matemático necessário para a equação; não tem sentido físico quando x=0 neste contexto prático, pois não há temperaturas negativas na amostra).

Passo 7

Escrever a reta ajustada final:
\boxed{y=18{,}5\,x-14}.
Isto significa que a previsão de consumo para qualquer temperatura x (na região de interesse) é dada por essa expressão.

Passo 8

Estimar o consumo médio para x=17^\circ\mathrm{C} substituindo na reta:
y(17)=18{,}5\cdot17-14.
Calcule:
18{,}5\cdot17=314{,}5,
logo
y(17)=314{,}5-14=300{,}5.
Portanto a previsão do consumo médio é 300{,}5 kWh quando a temperatura for 17^\circ\mathrm{C}.

Resposta

300{,}5\\ \mathrm{kWh}

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