O consumo de energia
depende da temperatura média
:
Temperatura
Consumo
16
290
18
310
20
350
22
400
Ajuste uma reta
e estime o consumo médio quando a temperatura for
.
| Temperatura
|
Consumo
|
| 16 | 290 |
| 18 | 310 |
| 20 | 350 |
| 22 | 400 |
Passo 1
O enunciado dá quatro pares (temperatura, consumo) e pede para ajustar uma reta
e estimar o consumo médio quando a temperatura for
.
Dados fornecidos:
Pergunta que precisamos responder: ajustar a reta
(ou seja, encontrar
e
) e usar essa reta para estimar o consumo médio para
.
Passo 2
Método escolhido (explicação didática e motivos): vou usar o ajuste por mínimos quadrados (regressão linear simples) — é o método padrão quando queremos uma reta que “melhor” passe por um conjunto de pontos no sentido de minimizar a soma dos quadrados dos desvios verticais. Esse método é o que normalmente se pede em provas para ajustar uma reta
a dados empíricos. A vantagem é que há fórmulas diretas para
(declive) e
(intercepto).
Passo 3
Apresentação das fórmulas e interpretação das quantidades:
Defino
como o número de observações,
como cada temperatura e
como cada consumo. As somas importantes são
As fórmulas dos coeficientes do ajuste por mínimos quadrados são
Interpretação:
é a variação média de
por unidade de
(aumento de kWh por grau Celsius) e
é o valor de
quando
na reta ajustada (intercepto, aqui sem significado físico direto, mas necessário para a reta).
Passo 4
Calcular as somas a partir dos dados (vou mostrar cada produto para ficar claro):
Número de observações:
Soma das temperaturas:
Soma dos consumos:
Soma dos quadrados das temperaturas:
Soma dos produtos
:
Passo 5
Calcular o coeficiente angular
substituindo as somas na fórmula e desenvolvendo a conta passo a passo:
Calculemos numeradores e denominadores separadamente:
logo o numerador é
O denominador:
logo
Portanto
Interpretação: a cada aumento de
a previsão de consumo cresce, em média,
kWh (segundo essa reta).
Passo 6
Calcular o intercepto
com a fórmula e contas detalhadas:
Calcule
:
Então
e
Interpretação: o intercepto da reta ajustada é
kWh (valor matemático necessário para a equação; não tem sentido físico quando
neste contexto prático, pois não há temperaturas negativas na amostra).
Passo 7
Escrever a reta ajustada final:
Isto significa que a previsão de consumo para qualquer temperatura
(na região de interesse) é dada por essa expressão.
Passo 8
Estimar o consumo médio para
substituindo na reta:
Calcule:
logo
Portanto a previsão do consumo médio é
kWh quando a temperatura for
.