Considere a função
Calcule o valor de
Calcule o valor de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \frac{x - y}{x + y} $ e precisa calcular a segunda derivada parcial mista, ou seja, $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $, no ponto
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Para isso, tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos a função em relação a $ y $.
A função é:
Vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se temos $ \frac{u}{v} $, a derivada em relação a $ y $ é:
Aqui, $ u = x - y $ e $ v = x + y $. Então:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial dessa expressão em relação a $ x $. Ou seja, vamos calcular $ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-2x}{(x + y)^2}\right) $.
Novamente, usamos a regra do quociente. Aqui, $ u = -2x $ e $ v = (x + y)^2 $. Então:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto
. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 0 $ na expressão:
Resposta
O valor de $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(1, 0) $ é igual a 2.