Considere a função f(x, y)=x-yx+y
Calcule o valor de partial^2 fpartial x partial y(1,0)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \frac{x - y}{x + y} $ e precisa calcular a segunda derivada parcial mista, ou seja, $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $, no ponto f(x, y) = x - yx + y . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Para isso, tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos a função em relação a $ y $.
A função é:
f
Vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se temos $ \frac{u}{v} $, a derivada em relação a $ y $ é:
y
Aqui, $ u = x - y $ e $ v = x + y $. Então:
x
y
Aplicando a regra do quociente:
f(x, y) = x - yx + y
uv
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial dessa expressão em relação a $ x $. Ou seja, vamos calcular $ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-2x}{(x + y)^2}\right) $.
Novamente, usamos a regra do quociente. Aqui, $ u = -2x $ e $ v = (x + y)^2 $. Então:
x
partialpartial x(-2x(x + y)^2)
Aplicando a regra do quociente:
u = -2x
v = (x + y)^2
u' = partialpartial x(-2x) = -2
v' = partialpartial x((x + y)^2) = 2(x + y) cdot 1 = 2(x + y)
partial^2 fpartial x partial y = (-2)(x + y)^2 - (-2x)(2)(x + y)(x + y)^4

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto (1, 0). Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 0 $ na expressão:
x = 1

Resposta

O valor de $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(1, 0) $ é igual a 2.

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