Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial:
F(x, y, z)=(x y, e^x, e^z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y,z)=(xy,e^x,e^z) em R^3 é conservativo e, caso positivo, encontrar um potencial. O conteúdo envolve campos vetoriais e o critério de conservatividade via rotacional.

Passo 2

Em um domínio simplesmente conectado como R^3, um campo F=(P,Q,R) é conservativo se, e somente se, o rotacional nablatimes F for o vetor nulo. Vamos usar a fórmula
nablatimes F= l(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
P(x,y,z)=xy, Q(x,y,z)=e^x, R(x,y,z)=e^z
Então
Ry=0,;Qz=0,;Pz=0,;Rx=0,;Qx=e^x,;Py=x
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nablatimes F=(0-0,;0-0,;e^x - x)=(0,0,e^x - x)

Passo 4

Como o terceiro componente e^x - x não é zero em geral, temos nablatimes Fneq(0,0,0). Portanto, F não é conservativo e não admite potencial em R^3.

Resposta

O campo não é conservativo e não existe função potencial, pois seu rotacional é (0,0,e^x-x)neq0.

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