Considere a função
. Determine e classifique, quanto a máximo e mínimo local, seus pontos críticos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{3} - x^{2} y + y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + 7 $ e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dessa função, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis varia, mantendo a outra fixa.
Calculando $ f_x $ (derivada parcial em relação a $ x $):
Calculando $ f_y $ (derivada parcial em relação a $ y $):
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Eles ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, resolvemos o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Da equação (2), podemos isolar $ y $:
Agora, substituímos $ y $ na equação (1):
Fatorando $ x $:
Isso nos dá uma solução $ x = 0 $ e as soluções da equação quadrática $ x^{2} - 3x - 1 = 0 $. Resolvendo a quadrática:
Então, os valores de $ x $ são:
Agora, encontramos os correspondentes valores de $ y $ usando $ y = \frac{x^{2}}{2} $:
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 6
Com as segundas derivadas, calculamos o determinante da matriz Hessiana $ D $:
Passo 7
Para cada ponto crítico, substituímos os valores de $ x $ e $ y $ em $ D $ para determinar a natureza do ponto:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: mínimo local
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: máximo local
- Se $ D < 0 $: ponto de sela
- Se $ D = 0 $: teste inconclusivo
Vamos analisar cada ponto:
- Para $ x = 0 $, $ y = 0 $:
Então, é um mínimo local.
- Para $ x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} $, $ y = \frac{(3 + \sqrt{13})^{2}}{8} $:
- Para $ x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} $, $ y = \frac{(3 - \sqrt{13})^{2}}{8} $:
Resposta
A função possui três pontos críticos:
- $ (0, 0) $ que é um mínimo local.
- $ \left(\frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{(3 + \sqrt{13})^{2}}{8}\right) $ que é um ponto de sela.
- $ \left(\frac{3 - \sqrt{13}}{2}, \frac{(3 - \sqrt{13})^{2}}{8}\right) $ que é um ponto de sela.