Seja z=u^2+2 u v+v^2, com u=y cos (x) e v=y sin (x). Calcule partial zpartial x+partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a soma das derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. A função $ z $ está definida como $ z = u^{2} + 2uv + v^{2} $, onde $ u = y \cos(x) $ e $ v = y \sin(x) $. Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ z $ substituindo $ u $ e $ v $ pelas suas expressões em termos de $ x $ e $ y $:
z
Vamos simplificar isso para facilitar a derivação.

Passo 3

Simplificando a expressão de $ z $:
z
Podemos fatorar $ y^{2} $:
z = y^2 cos^2(x) + 2y^2 cos(x) sin(x) + y^2 sin^2(x)

Passo 4

Sabemos que $ \cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1 $ e que $ 2\cos(x)\sin(x) = \sin(2x) $. Vamos usar essas identidades trigonométricas para simplificar $ z $:
cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
z
Aqui usamos a regra da derivada para funções compostas.

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
z
Isso é direto, aplicando a regra da potência.

Resposta

Somando as duas derivadas parciais, temos:
partial zpartial x + partial zpartial y = 2y^2cos(2x) + 2y(1 + sin(2x))

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