Seja
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a soma das derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. A função $ z $ está definida como $ z = u^{2} + 2uv + v^{2} $, onde $ u = y \cos(x) $ e $ v = y \sin(x) $. Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ z $ substituindo $ u $ e $ v $ pelas suas expressões em termos de $ x $ e $ y $:
Vamos simplificar isso para facilitar a derivação.
Passo 3
Simplificando a expressão de $ z $:
Podemos fatorar $ y^{2} $:
Passo 4
Sabemos que $ \cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1 $ e que $ 2\cos(x)\sin(x) = \sin(2x) $. Vamos usar essas identidades trigonométricas para simplificar $ z $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
Aqui usamos a regra da derivada para funções compostas.
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
Isso é direto, aplicando a regra da potência.
Resposta
Somando as duas derivadas parciais, temos: