Dê uma parametrização para a curva \vec{r} dada pela interseção das seguintes superfícies:
z=1-y^{2}, z \geq 0 e 2 x+3 z=6 com ponto inicial em (3,-1,0) e ponto final (3,1,0).

Passo 1

O enunciado pede: “Dê uma parametrização para a curva \vec{r} dada pela interseção das superfícies z=1-y^{2},\\ z\geq 0 e 2x+3z=6 com ponto inicial em (3,-1,0) e ponto final (3,1,0).”
Informações relevantes fornecidas:
  • Superfície 1: \;z=1-y^{2}, com a restrição \;z\geq 0.
  • Superfície 2: \;2x+3z=6.
  • A curva é a interseção dessas duas superfícies.
  • Ponto inicial: (3,-1,0).
  • Ponto final: (3,1,0).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): uma curva em \mathbb{R}^{3} dada pela interseção de duas superfícies pode ser obtida eliminando uma variável e expressando as outras em função de um parâmetro. Aqui temos uma equação já resolvida para z em termos de y. Uma estratégia simples e comum é usar y como parâmetro: isto é, tomar t=y e escrever x e z em função de t. Vou mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 3

Substituir \;z=1-y^{2} na equação da segunda superfície \;2x+3z=6.
2x+3z=6
Substituindo \;z=1-y^{2}:
2x+3(1-y^{2})=6.

Passo 4

Isolar x na equação anterior, desenvolvendo cada passo:
2x+3(1-y^{2})=6
2x+3-3y^{2}=6
2x=6-3+3y^{2}
2x=3+3y^{2}
x=\frac{3+3y^{2}}{2}=\frac{3}{2}(1+y^{2}).

Passo 5

Escolher o parâmetro e o intervalo: tome t=y. A condição \;z\geq 0 com \;z=1-y^{2} implica
1-y^{2}\geq 0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}\leq 1 \quad\Rightarrow\quad -1\leq y\leq 1.
Portanto o parâmetro t deve variar em [-1,1]. Para garantir a orientação pedida (ponto inicial (3,-1,0) para ponto final (3,1,0)), escolhemos t crescente de -1 até 1.

Passo 6

Escrever a parametrização vetorial usando t como parâmetro. Substituindo y=t nas expressões para x e z obtidas:
x(t)=\frac{3}{2}(1+t^{2}),\qquad y(t)=t,\qquad z(t)=1-t^{2}.
Logo uma parametrização é
\vec{r}(t)=\left(\frac{3}{2}(1+t^{2}),\; t,\; 1-t^{2}\right),\qquad t\in[-1,1].

Passo 7

Verificação rápida (mostrando que a curva está nas duas superfícies e atinge os pontos pedidos):
  • Pela construção, z(t)=1-t^{2} satisfaz a primeira superfície.
  • Substituindo em 2x+3z com x(t)=\frac{3}{2}(1+t^{2}):
2x(t)+3z(t)=2\cdot\frac{3}{2}(1+t^{2})+3(1-t^{2})=3(1+t^{2})+3(1-t^{2})=3+3t^{2}+3-3t^{2}=6,
portanto satisfaz a segunda superfície.
  • Nos extremos: para t=-1 tem \vec{r}(-1)=(3,-1,0) e para t=1 tem \vec{r}(1)=(3,1,0), ou seja, os pontos inicial e final estão corretos e a orientação está conforme exigida.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(t)=\left(\frac{3}{2}(1+t^{2}),\; t,\; 1-t^{2}\right),\quad t\in[-1,1]

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