Dê uma parametrização para a curva
dada pela interseção das seguintes superfícies:
e
com ponto inicial em
e ponto final
.
Passo 1
O enunciado pede: “Dê uma parametrização para a curva
dada pela interseção das superfícies
e
com ponto inicial em
e ponto final
.”
Informações relevantes fornecidas:
- Superfície 1:
, com a restrição . - Superfície 2:
. - A curva é a interseção dessas duas superfícies.
- Ponto inicial:
. - Ponto final:
.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): uma curva em
dada pela interseção de duas superfícies pode ser obtida eliminando uma variável e expressando as outras em função de um parâmetro. Aqui temos uma equação já resolvida para
em termos de
. Uma estratégia simples e comum é usar
como parâmetro: isto é, tomar
e escrever
e
em função de
. Vou mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 3
Substituir
na equação da segunda superfície
.
Substituindo
:
Passo 4
Isolar
na equação anterior, desenvolvendo cada passo:
Passo 5
Escolher o parâmetro e o intervalo: tome
. A condição
com
implica
Portanto o parâmetro
deve variar em
. Para garantir a orientação pedida (ponto inicial
para ponto final
), escolhemos
crescente de
até
.
Passo 6
Escrever a parametrização vetorial usando
como parâmetro. Substituindo
nas expressões para
e
obtidas:
Logo uma parametrização é
Passo 7
Verificação rápida (mostrando que a curva está nas duas superfícies e atinge os pontos pedidos):
- Pela construção,
satisfaz a primeira superfície. - Substituindo em
com :
portanto satisfaz a segunda superfície.
- Nos extremos: para
tem e para tem , ou seja, os pontos inicial e final estão corretos e a orientação está conforme exigida.