Considere a função
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=5 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}
Calcule
\iint_{E} f(x, y) d A
onde E é a regiāo do plano x y limitada pelas curvas y=x^{2}, y=10, x=3 e x=1,2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{E} f(x,y)\,dA
onde a função é f(x,y)=5x+2y e a região E é a parte do plano limitada pelas curvas:
  • y=x^{2},
  • y=10,
  • x=3,
  • x=1,2.
Perguntas explícitas:
  • Montar a integral dupla que representa \iint_{E}(5x+2y)\,dA.
  • Calcular o valor numérico dessa integral.
Observações extraídas do enunciado:
  • A linha x=1,2 será interpretada como a constante vertical x=1,2 (isto é, x=1{,}2 no formato decimal).
  • A região E fica entre as retas verticais x=1{,}2 e x=3, e entre a curva inferior y=x^{2} e a reta superior y=10.

Passo 2

Decidir a ordenação da integração e escrever a integral iterada.
Explicação didática: quando a região é descrita por limites verticais constantes em x (aqui x=1{,}2 e x=3) e, para cada x fixo, y varia entre duas funções de x (aqui de y=x^{2} até y=10), convém usar a ordem dA = dy\,dx. Em geral, para uma região do tipo
\{(x,y)\mid a\le x\le b,\\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\},
a integral dupla escreve-se como
\iint_E f(x,y)\,dA=\int_{x=a}^{x=b}\left(\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx.
Aplicando isso ao nosso caso: a=1{,}2, b=3, g_1(x)=x^{2}, g_2(x)=10. Assim a integral fica
\iint_{E}(5x+2y)\,dA=\int_{x=1{,}2}^{3}\left(\int_{y=x^{2}}^{10} (5x+2y)\,dy\right)dx.

Passo 3

Integrar internamente em y. Vou mostrar a técnica e as regras usadas.
Regra usada: para uma função polinomial em y,
\int (a+ b y)\,dy = a y + b\frac{y^{2}}{2},
pois \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y. No nosso caso a=5x (tratado como constante quando integramos em y) e b=2.
Calcule a primitiva em y:
\int (5x+2y)\,dy = 5x\cdot y + \frac{2}{2}y^{2} = 5x\,y + y^{2}.
Agora avaliar entre y=x^{2} e y=10:
\int_{y=x^{2}}^{10} (5x+2y)\,dy = \bigl[\,5x\,y + y^{2}\,\bigr]_{y=x^{2}}^{y=10} = 5x\cdot 10 + 10^{2} - \bigl(5x\cdot x^{2} + (x^{2})^{2}\bigr).
Simplificando os termos:
5x\cdot 10 = 50x,\qquad 10^{2}=100,
5x\cdot x^{2}=5x^{3},\qquad (x^{2})^{2}=x^{4}.
Portanto o integrando para a integral em x fica
50x + 100 - 5x^{3} - x^{4}.

Passo 4

Passar à integral externa em x e preparar para integrar termo a termo.
Escrevendo a integral em x:
\iint_{E}(5x+2y)\,dA = \int_{x=1{,}2}^{3} \bigl(50x + 100 - 5x^{3} - x^{4}\bigr)\,dx.
Regra usada: integra-se polinômios termo a termo, usando
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1),
e \int c\,dx = c x para constante c.
Calcule a primitiva em x:
\int \bigl(50x + 100 - 5x^{3} - x^{4}\bigr)\,dx = 50\cdot\frac{x^{2}}{2} + 100x -5\cdot\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{5}}{5}.
Simplificando os coeficientes:
50\cdot\frac{x^{2}}{2}=25x^{2},\qquad -5\cdot\frac{x^{4}}{4}=-\frac{5}{4}x^{4}.
Logo uma primitiva conveniente é
F(x)=25x^{2} - \frac{5}{4}x^{4} + 100x - \frac{x^{5}}{5}.

Passo 5

Avaliar F(x) nos limites x=1{,}2 e x=3 e subtrair.
Primeiro em x=3:
F(3)=25\cdot 3^{2} - \frac{5}{4}\cdot 3^{4} + 100\cdot 3 - \frac{3^{5}}{5}.
Calcule passo a passo:
25\cdot 3^{2}=25\cdot 9=225,
\frac{5}{4}\cdot 3^{4}=\frac{5}{4}\cdot 81=\frac{405}{4}=101{,}25,
100\cdot 3 =300,
\frac{3^{5}}{5}=\frac{243}{5}=48{,}6.
Somando/subtraindo:
F(3)=225 -101{,}25 +300 -48{,}6 = 375{,}15.
Em frações exatas isso é \dfrac{7503}{20}.
Agora em x=1{,}2 (isto é, x=\dfrac{6}{5}):
Calcule cada termo usando x=\dfrac{6}{5}.
  • 25x^{2}=25\cdot\left(\dfrac{6}{5}\right)^{2}=25\cdot\dfrac{36}{25}=36.
  • \dfrac{5}{4}x^{4}=\dfrac{5}{4}\cdot\left(\dfrac{6}{5}\right)^{4} =\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1296}{625}=\dfrac{6480}{2500}=\dfrac{324}{125}=2{,}592.
    Então -\dfrac{5}{4}x^{4}=-2{,}592.
  • 100x=100\cdot\dfrac{6}{5}=120.
  • \dfrac{x^{5}}{5}=\dfrac{1}{5}\cdot\left(\dfrac{6}{5}\right)^{5} =\dfrac{7776}{15625}\approx 0{,}497664.
    Então -\dfrac{x^{5}}{5}\approx -0{,}497664.
Somando:
F(1{,}2)=36 - 2{,}592 + 120 - 0{,}497664 = 152{,}910336.
Em forma fracionária exata obtivemos F(1{,}2)=\dfrac{2389224}{15625}.

Passo 6

Subtrair F(3)-F(1{,}2) para obter o valor da integral.
Usando os valores decimais:
\iint_{E}(5x+2y)\,dA = F(3)-F(1{,}2)=375{,}15 - 152{,}910336 = 222{,}239664.
Em forma fracionária exata (juntando as expressões racionais calculadas):
\iint_{E}(5x+2y)\,dA = \frac{7503}{20} - \frac{2389224}{15625} = \frac{13889979}{62500}.

Resposta

\dfrac{13889979}{62500}\approx 222,239664

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