Considere a função
Calcule
onde
é a regiāo do plano
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde a função é
e a região
é a parte do plano limitada pelas curvas:
-
, -
, -
, -
.
Perguntas explícitas:
- Montar a integral dupla que representa
. - Calcular o valor numérico dessa integral.
Observações extraídas do enunciado:
- A linha
será interpretada como a constante vertical (isto é, no formato decimal). - A região
fica entre as retas verticais e , e entre a curva inferior e a reta superior .
Passo 2
Decidir a ordenação da integração e escrever a integral iterada.
Explicação didática: quando a região é descrita por limites verticais constantes em
(aqui
e
) e, para cada
fixo,
varia entre duas funções de
(aqui de
até
), convém usar a ordem
. Em geral, para uma região do tipo
a integral dupla escreve-se como
Aplicando isso ao nosso caso:
,
,
,
. Assim a integral fica
Passo 3
Integrar internamente em
. Vou mostrar a técnica e as regras usadas.
Regra usada: para uma função polinomial em
,
pois
. No nosso caso
(tratado como constante quando integramos em
) e
.
Calcule a primitiva em
:
Agora avaliar entre
e
:
Simplificando os termos:
Portanto o integrando para a integral em
fica
Passo 4
Passar à integral externa em
e preparar para integrar termo a termo.
Escrevendo a integral em
:
Regra usada: integra-se polinômios termo a termo, usando
e
para constante
.
Calcule a primitiva em
:
Simplificando os coeficientes:
Logo uma primitiva conveniente é
Passo 5
Avaliar
nos limites
e
e subtrair.
Primeiro em
:
Calcule passo a passo:
Somando/subtraindo:
Em frações exatas isso é
.
Agora em
(isto é,
):
Calcule cada termo usando .
Calcule cada termo usando
-
-
Então -
-
Então
Somando:
Em forma fracionária exata obtivemos
.
Passo 6
Subtrair
para obter o valor da integral.
Usando os valores decimais:
Em forma fracionária exata (juntando as expressões racionais calculadas):