Considere a função
e o ponto
.
Determine a derivada direcional da função em
na direção do vetor
.
Determine a derivada direcional da função em
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=\frac{x}{x{2}+y{2}+1} no ponto P_{0}(1,1) na direção do vetor a=i−2j. Isso envolve o conceito de gradiente e de vetor unidade para a direção dada.
Passo 2
Para derivada direcional usamos a fórmula D_{u}f(P_{0})=∇f(P_{0})⋅u, onde ∇f é o vetor das derivadas parciais de f e u é o vetor unidade na direção de a.
Vamos calcular as derivadas parciais de f usando a regra do quociente. Seja g(x,y)=x e h(x,y)=x{2}+y{2}+1. Então f=g/h e
Vamos calcular as derivadas parciais de f usando a regra do quociente. Seja g(x,y)=x e h(x,y)=x{2}+y{2}+1. Então f=g/h e
Passo 3
Agora avaliamos as derivadas parciais em P_{0}(1,1). O denominador é (1{2}+1{2}+1){2}=3{2}=9. Então
Passo 4
O gradiente em P_{0} é ∇f(1,1)=\Bigl(\tfrac{1}{9},-\tfrac{2}{9}\Bigr).
Precisamos do vetor unidade na direção de a=(1,−2). O módulo de a é \sqrt{1{2}+(-2){2}}=\sqrt{5}, então
Precisamos do vetor unidade na direção de a=(1,−2). O módulo de a é \sqrt{1{2}+(-2){2}}=\sqrt{5}, então
Passo 5
Finalmente a derivada direcional é o produto escalar ∇f(1,1)⋅u:
Passo 6
Simplificando, obtemos D_{u}f(1,1)=\frac{\sqrt{5}}{9}.