Considere a função f(x, y)=xx^2+y^2+1 e o ponto P0(1,1).
Determine a derivada direcional da função em P0 na direção do vetor a=i-2 j.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=\frac{x}{x{2}+y{2}+1} no ponto P_{0}(1,1) na direção do vetor a=i−2j. Isso envolve o conceito de gradiente e de vetor unidade para a direção dada.

Passo 2

Para derivada direcional usamos a fórmula D_{u}f(P_{0})=∇f(P_{0})⋅u, onde ∇f é o vetor das derivadas parciais de f e u é o vetor unidade na direção de a.
Vamos calcular as derivadas parciais de f usando a regra do quociente. Seja g(x,y)=x e h(x,y)=x{2}+y{2}+1. Então f=g/h e
partial fpartial x=hpartial gpartial x-gpartial hpartial xh^2=(x^2+y^2+1)cdot1 - xcdot2x(x^2+y^2+1)^2=y^2+1 - x^2(x^2+y^2+1)^2,
partial fpartial y=hpartial gpartial y-gpartial hpartial yh^2=(x^2+y^2+1)cdot0 - xcdot2y(x^2+y^2+1)^2=-2xy(x^2+y^2+1)^2

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas parciais em P_{0}(1,1). O denominador é (1{2}+1{2}+1){2}=3{2}=9. Então
partial fpartial x(1,1)=1^2+1 -1^29=19,
partial fpartial y(1,1)=-2cdot1cdot19=-29

Passo 4

O gradiente em P_{0} é ∇f(1,1)=\Bigl(\tfrac{1}{9},-\tfrac{2}{9}\Bigr).
Precisamos do vetor unidade na direção de a=(1,−2). O módulo de a é \sqrt{1{2}+(-2){2}}=\sqrt{5}, então
nu=1raiz5,i-2raiz5,j

Passo 5

Finalmente a derivada direcional é o produto escalar ∇f(1,1)⋅u:
Duf(1,1)=19cdot1raiz5 + l(-29r)cdotl(-2raiz5r)=19raiz5+49raiz5=59raiz5

Passo 6

Simplificando, obtemos D_{u}f(1,1)=\frac{\sqrt{5}}{9}.

Resposta

raiz59

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