Para a função f(x, y)=raizx^2-2 y^2-4
Esboce o gráfico desta função.

Passo 1

A função é f(x, y) = raizx^2-2y^2-4, estamos no tópico de esboço de superfícies de funções de duas variáveis. Para desenhar o gráfico, vamos precisar achar o domínio onde a raiz é real, estudar cortes (traços) em planos como y=const, x=const e z=const, e ver que tipo de superfície isso forma.

Passo 2

Primeiro achamos o domínio: como é uma raiz, precisamos de x^2 - 2y^2 - 4 >= 0. Em termos de desigualdade,
x^2 - 2y^2 >= 4,
que no plano (x,y) é a região exterior às duas curvas hiperbólicas x^2 - 2y^2 = 4.

Passo 3

Agora estudamos os traços: para um valor fixo de z, digamos z = c ≥ 0, temos
x^2 - 2y^2 = c^2 + 4,
que são hipérboles mais abertas conforme c cresce. Para y=0, a seção é z = √(x²−4), uma curva de hipérbole no plano xz definida para |x| ≥ 2. Para x=const com |x| ≥ 2, obtemos
z^2 + 2y^2 = x^2 - 4,
que são elipses no plano paralelo a yz.

Passo 4

Com esses traços percebemos que o gráfico inteiro é o ramo positivo (z ≥ 0) de um hiperbolóide de duas folhas dado por
x^2 - 2y^2 - z^2 = 4,
orientado ao longo do eixo x, mas tomando apenas z ≥ 0.

Passo 5

Para esboçar, desenhe primeiro no plano xy a região fora das hipérboles x^2 - 2y^2 = 4, depois levante de cada ponto (x,y) na borda um valor z = 0, e à medida que você se afasta para dentro do domínio z aumenta conforme √(x²−2y²−4).

Resposta

O gráfico é o ramo z ≥ 0 do hiperbolóide de duas folhas definido por x² − 2y² − z² = 4, isto é, a superfície z = √(x² − 2y² − 4) para x² − 2y² ≥ 4, esboçada acima da região exterior às hipérboles x² − 2y² = 4.

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