Considere a função f(x, y)=xx^2+y^2 e responda os itens abaixo:
© Determine a taxa de variação de f em (1,0) na direçāo do vetor u=(raiz3 / 2,1 / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a taxa de variação da função $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} $ no ponto f(x, y) = xx^2 + y^2 na direção do vetor $ u = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradientes, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja:
f(x, y)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partialpartial x ( xx^2 + y^2 ) = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
Então, o gradiente é:
partial fpartial y

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1, 0):
nabla f(1, 0) = ( -(1)^2 + (0)^2(1^2 + 0^2)^2, -2(1)(0)(1^2 + 0^2)^2 ) = ( -11, 0 ) = (-1, 0)

Passo 5

A taxa de variação na direção de $ u $ é dada pelo produto escalar do gradiente por um vetor unitário na direção de $ u $. Primeiro, normalizamos $ u $:
u
Então, o vetor unitário é $ \mathbf{e} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) $.
Agora, calculamos o produto escalar:
u çã

Resposta

A taxa de variação de $ f $ em f na direção de $ u $ é (1, 0).

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