Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a taxa de variação da função $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} $ no ponto na direção do vetor $ u = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradientes, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Passo 5
A taxa de variação na direção de $ u $ é dada pelo produto escalar do gradiente por um vetor unitário na direção de $ u $. Primeiro, normalizamos $ u $:
Então, o vetor unitário é $ \mathbf{e} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right) $.
Agora, calculamos o produto escalar:
u çã
Resposta
A taxa de variação de $ f $ em f na direção de $ u $ é (1, 0).