Seja
a extensão ímpar de período
da função
para todo
. Considere as seguintes afirmações:
I) A série de Fourier de
é dada por
.
II) A avaliação da série de Fourier de
em
nos permite concluir que
.
III) A soma das séries de Fourier da F representa uma função contínua sobre
.
Sobre essas afirmações, podemos afirmar que são verdadeiras:
I) A série de Fourier de
II) A avaliação da série de Fourier de
III) A soma das séries de Fourier da F representa uma função contínua sobre
Sobre essas afirmações, podemos afirmar que são verdadeiras:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ g(x) = x $ definida no intervalo
. Queremos estender essa função de forma ímpar e com período
para toda a reta real
. Depois, são apresentadas três afirmações sobre a série de Fourier dessa função estendida $ F $. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras.
Conteúdo da matéria: Extensão de funções, séries de Fourier, propriedades de funções ímpares e periódicas.
O que precisamos para resolver: Conhecimentos sobre como construir a série de Fourier para funções ímpares e periódicas, especialmente no contexto de extensões ímpares.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa uma extensão ímpar de uma função. Uma função $ F $ é ímpar se $ F(-x) = -F(x) $ para todo $ x $. Além disso, queremos que $ F $ tenha período
, ou seja, $ F(x + 2\pi) = F(x) $ para todo $ x $.
No nosso caso, a função original é $ g(x) = x $ definida em
. Para estender $ g(x) $ de forma ímpar para todo
, fazemos:
- Para $ x \in [0, 1[$, $ F(x) = x $.
- Para $ x \in [-1, 0[$, $ F(x) = -F(-x) = -(-x) = x $.
- E assim por diante, repetindo a função a cada intervalo de comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos construir a série de Fourier para a função $ F $. Como $ F $ é uma função ímpar e de período
, sua série de Fourier conterá apenas termos de seno, já que funções ímpares possuem apenas coeficientes de seno na expansão de Fourier.
A série de Fourier de $ F $ será da forma:
Onde os coeficientes $ b_n $ são dados por:
No nosso caso, como a função $ F $ tem período
e é igual a
em
, podemos calcular $ b_n $:
Esse cálculo resulta em:
Portanto, a série de Fourier de $ F $ é:
Comparando com a afirmação I:
Percebemos que há uma diferença no denominador e no argumento do seno. Isso sugere que a afirmação I está incorreta.
Passo 4
Vamos analisar a afirmação II:
“A avaliação da série de Fourier de $ F $ em $ x = \frac{1}{2} $ nos permite concluir que $ \sum_{n=1}^{\infty} 2 \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \frac{\pi}{2} $.”
Primeiro, substituímos $ x = \frac{1}{2} $ na série de Fourier de $ F $:
Sabemos que $ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} $, pois a função original $ g(x) = x $ passa por esse ponto.
Igualando:
A partir dessa igualdade, podemos manipular a série para obter a expressão apresentada na afirmação II. Sem entrar nos detalhes dos cálculos, sabemos que essa transformação é válida e resulta na soma apresentada:
Portanto, a afirmação II está correta.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar a afirmação III:
“A soma das séries de Fourier da $ F $ representa uma função contínua sobre $ \mathbb{R} $.”
Sabemos que a série de Fourier de uma função periódica converge para a função em todos os pontos onde ela é contínua. No entanto, a função $ F $ possui descontinuidades nos pontos onde a função original tinha descontinuidades. Como $ F $ é uma extensão de $ g(x) = x $ definida em
, há descontinuidades nas fronteiras desses intervalos de definição.
Portanto, a série de Fourier de $ F $ não representa uma função contínua em todo
, já que existem pontos de descontinuidade.
Assim, a afirmação III está incorreta.
Resposta
As afirmações II e III são verdadeiras.