Na curva de equação implicita , os parâmetros e são resposáveis por perturbações da curvatura. Sabendo-se que a reta tangente no ponto , também passa pelo ponto , pode-se deduzir que
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma curva definida pela equação implícita $ A y - \ln(B x y) = 0 $. Os parâmetros $ A $ e $ B > 0 $ influenciam como a curva se comporta. A gente sabe que a reta tangente nessa curva no ponto também passa pelo ponto . Nosso objetivo é descobrir qual das opções para $ A $ está correta usando esse dado. Para resolver isso, vamos precisar de cálculo, especialmente derivadas para encontrar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar: $ A y = \ln(B x y) $. Queremos encontrar a derivada dessa equação para obter a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na derivada do logaritmo:
Passo 5
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ A x y $:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos para isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $ na expressão da derivada:
Aqui vemos que ocorre uma indeterminação, então vamos analisar a equação original no ponto y = 1 :
dydx|(0,1) = 10 (A cdot 1 - 1)
(0,1) não está definido, o que sugere que devemos considerar o comportamento próximo a $ x = 0 $.
Passo 8
Assumindo que a reta tangente passa pelo ponto (0,1) e (1,9), vamos usar a fórmula da reta:
m = 9 - 11 - 0 = 8
Então, a inclinação $ m = 8 $ deve ser igual à derivada no ponto m = 8 . Voltando à expressão da derivada:
(0,1)
Passo 9
Vamos reconsiderar a equação derivada:
dydx = yx (A y - 1)
No ponto (0,1), embora $ x = 0 $, a inclinação é finita (8), então rearranjamos a expressão para evitar a indeterminação:
x = 0
Portanto:
8 = 10 (A cdot 1 - 1) implies A y - 1 to 0
Resposta
A alternativa correta é nenhuma das opções apresentadas. Pelo cálculo, $ A = 1 $.