Calcule f^prime(1) se f(x)=(x^3+4 x+5)(x^7+4 x+1)
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \left(x{3}+4x+5\right)\left(x{7}+4x+1\right) $ no ponto $ x = 1 $. Para isso, vamos usar a regra do produto, que é super útil quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
  • $ g(x) = x^{3} + 4x + 5 $
  • $ h(x) = x^{7} + 4x + 1 $

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do produto. Se $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $, então a derivada de $ f $ é:
f(x) = g(x) cdot h(x)
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de $ g(x) $ e $ h(x) $.

Passo 4

Vamos calcular $ g’(x) $. Derivando cada termo de $ g(x) $:
g'(x)
g(x)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ h’(x) $. Derivando cada termo de $ h(x) $:
h'(x)
h(x)

Passo 6

Com as derivadas encontradas, vamos aplicar a regra do produto:
f'(x) = g'(x) cdot h(x) + g(x) cdot h'(x)

Passo 7

Vamos calcular cada parte em $ x = 1 $:
  1. $ g(1) = (1)^{3} + 4(1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 $
  2. $ h(1) = (1)^{7} + 4(1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6 $
  3. $ g’(1) = 3(1)^{2} + 4 = 3 + 4 = 7 $
  4. $ h’(1) = 7(1)^{6} + 4 = 7 + 4 = 11 $

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na expressão da derivada:
f'(1) = g'(1) cdot h(1) + g(1) cdot h'(1)
f'(1) = 7 cdot 6 + 10 cdot 11

Passo 9

Fazendo as multiplicações:
7 cdot 6 = 42
10 cdot 11 = 110
Somando esses resultados:
42 + 110 = 152

Resposta

$ f^{\prime}(1) = 152 $

Exercícios relacionados