Calcule
se
Resposta:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \left(x{3}+4x+5\right)\left(x{7}+4x+1\right) $ no ponto $ x = 1 $. Para isso, vamos usar a regra do produto, que é super útil quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
- $ g(x) = x^{3} + 4x + 5 $
- $ h(x) = x^{7} + 4x + 1 $
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra do produto. Se $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $, então a derivada de $ f $ é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de $ g(x) $ e $ h(x) $.
Passo 4
Vamos calcular $ g’(x) $. Derivando cada termo de $ g(x) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ h’(x) $. Derivando cada termo de $ h(x) $:
Passo 6
Com as derivadas encontradas, vamos aplicar a regra do produto:
Passo 7
Vamos calcular cada parte em $ x = 1 $:
- $ g(1) = (1)^{3} + 4(1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 $
- $ h(1) = (1)^{7} + 4(1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6 $
- $ g’(1) = 3(1)^{2} + 4 = 3 + 4 = 7 $
- $ h’(1) = 7(1)^{6} + 4 = 7 + 4 = 11 $
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na expressão da derivada:
Passo 9
Fazendo as multiplicações:
Somando esses resultados:
Resposta
$ f^{\prime}(1) = 152 $