Considere a reta tangente ao gráfico da função f(x)=1x^5+ln x no ponto (1,1). Se a equação dessa reta tangente for escrita na forma y=a x+b, determine o valor de b.
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) = 1x^5 + ln x e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto (1,1). Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função f(x), avaliar essa derivada no ponto x=1 para encontrar o coeficiente a da reta, e depois usar esse valor para descobrir o valor de b na equação da reta y = a x + b.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x). A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A função que temos é:
f(x) = 1x^5 + ln x
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. A derivada de 1x^5 é -5x^-6.
  2. A derivada de ln x é 1x.
Então, a derivada de f(x), que vamos chamar de f'(x), é:
f'(x) = -5x^6 + 1x

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada f'(x) no ponto x = 1 para encontrar a inclinação a da reta tangente naquele ponto.
Substituindo x = 1 na derivada:
f'(1) = -51^6 + 11 = -5 + 1 = -4
Então, a inclinação da reta tangente é a = -4.

Passo 4

Com o valor de a encontrado, podemos usar a equação da reta na forma y = a x + b e o ponto dado (1,1) para encontrar o valor de b.
Sabemos que quando x = 1, y = 1. Substituindo esses valores na equação:
1 = (-4)(1) + b 1 = -4 + b
Agora, resolvendo para b:
b = 1 + 4 b = 5

Resposta

b = 5

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