Considere a função
f(x, y, z)=10 x^{6} y cos \left(x y z^{5}\right).
Determine:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,2,-0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=10\,x^{6}\,y\;\cos\bigl(x\,y\,z^{5}\bigr)
e pede a derivada parcial de f em relação a x no ponto (2,2,-0).
Para isso vamos precisar aplicar a regra do produto (entre 10x^{6}y e \cos(\cdot)) e a regra da cadeia (para derivar o \cos(xyz^{5})).

Passo 2

Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z).
Defina
u(x,y,z)=10\,x^{6}\,y, \quad v(x,y,z)=\cos\bigl(x\,y\,z^{5}\bigr).
Então
\frac{\partial u}{\partial x} =10\cdot6\,x^{5}\,y =60\,x^{5}\,y,
\frac{\partial v}{\partial x} =-\sin\bigl(x\,y\,z^{5}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\,z^{5}\bigr) =-y\,z^{5}\,\sin\bigl(x\,y\,z^{5}\bigr).
Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x} =60\,x^{5}\,y\,\cos\bigl(x\,y\,z^{5}\bigr) -10\,x^{6}\,y^{2}\,z^{5}\,\sin\bigl(x\,y\,z^{5}\bigr).

Passo 3

Agora avalie em (x,y,z)=(2,2,-0). Note que -0=0, então z^{5}=0, daí
\cos\bigl(2\cdot2\cdot0\bigr)=\cos(0)=1, \quad \sin\bigl(2\cdot2\cdot0\bigr)=\sin(0)=0.
Substituindo em \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,2,-0) =60\cdot2^{5}\cdot2\cdot1 -10\cdot2^{6}\cdot2^{2}\cdot0\cdot0 =60\cdot32\cdot2 =3840.

Resposta

\;3840

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