Se o herdeiro fosse culpado, a tesoura estaria no vestiário. Ou a tesoura não estava no vestiário ou Jack viu a tesoura. Se a tesoura não estava lá no dia 17 de outubro, segue que Jack não viu a tesoura. Além disso, se a tesoura estava lá no dia 17 de outubro, então a tesoura estava no vestiário e a extensão estava na biblioteca. Mas todos nós sabemos que a extensão não estava na biblioteca. Portanto, senhoras e senhores do júri, o herdeiro é inocente. Use lógica proposicional para provar que esse é um argumento válido.

Passo 1

Primeiro, vamos traduzir o argumento para a linguagem da lógica proposicional. Definimos as seguintes variáveis:
p: “o herdeiro é culpado.”
q: “a tesoura está no vestiário.”
r: “Jack viu a tesoura.”
s: “a tesoura estava lá no dia 17 de outubro.”
t: “a extensão estava na biblioteca.”
As premissas do enunciado ficam assim:
\begin{aligned} &1.\quad p \to q,\\\ &2.\quad \lnot q \lor r,\\\ &3.\quad \lnot s \to \lnot r,\\\ &4.\quad s \to (q \land t),\\\ &5.\quad \lnot t. \end{aligned}
Queremos mostrar que dessas premissas segue \lnot p.

Passo 2

Reescrevemos as premissas 2 e 3 em forma de implicação, usando equivalências bem-conhecidas:
\lnot q \lor r \equiv q \to r, \qquad \lnot s \to \lnot r \equiv r \to s.
Assim as premissas passam a ser:
\begin{aligned} &1.\quad p \to q,\\\ &2'.\quad q \to r,\\\ &3'.\quad r \to s,\\\ &4.\quad s \to (q \land t),\\\ &5.\quad \lnot t. \end{aligned}

Passo 3

Fazemos redução ao absurdo para provar \lnot p. Suponha p.
— De p e da premissa 1 ( p \to q) segue, por modus ponens,
q.
— De q e da premissa 2’ ( q \to r) segue, por modus ponens,
r.
— De r e da premissa 3’ ( r \to s) segue, por modus ponens,
s.
— De s e da premissa 4 ( s \to (q \land t)) segue, por modus ponens,
q \land t,
portanto
t.

Passo 4

Chegamos a t, mas temos também a premissa 5, \lnot t. Isso é uma contradição ( t \land \lnot t). Logo a suposição p é falsa, isto é,
\lnot p.

Resposta

Concluímos que, a partir das premissas dadas, segue logicamente \lnot p. Portanto o argumento é válido e o herdeiro é inocente.

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