Considere a função
f(x, y, z)=3 x^{5} y cos \left(x y z^{7}\right).
Determine:
\frac{\partial f}{\partial z}(-9,-0,-2)

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(-9,-0,-2) para
f(x,y,z)=3\,x^{5}y\cos\bigl(xyz^{7}\bigr).
Vamos usar derivada parcial, tratando x e y como constantes, e aplicar a regra da cadeia ao \cos.

Passo 2

Defina u = x\,y\,z^{7}. Então
\frac{\partial u}{\partial z} = x\,y\cdot 7\,z^{6} =7\,x\,y\,z^{6}.
Como f(x,y,z)=3\,x^{5}y\cos(u), pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial z} =3\,x^{5}y\;\bigl(-\sin(u)\bigr)\;\frac{\partial u}{\partial z} =-3\,x^{5}y\;\sin\bigl(xyz^{7}\bigr)\;7\,x\,y\,z^{6} =-21\,x^{6}y^{2}z^{6}\,\sin\bigl(xyz^{7}\bigr).

Passo 3

Agora avaliaremos em (x,y,z)=(-9,0,-2). Note que y=0 implica y^{2}=0 e xyz^{7}=0, logo
\frac{\partial f}{\partial z}(-9,0,-2) =-21\,(-9)^{6}\,0^{2}\,(-2)^{6}\,\sin(0) =0.

Resposta

0

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