Considere a função f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}. Encontre o mínimo sujeito a x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o mínimo de
f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}
sujeito à restrição
x+y+z=1.
Isto é um problema de otimização com restrição de igualdade. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em introduzir um parâmetro \lambda e igualar as derivadas parciais de uma função estendida a zero.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,\lambda)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2} \;+\;\lambda\,(x+y+z-1).
As condições de estacionaridade exigem
\frac{\partial L}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0.
Calculando:
\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0,\quad \frac{\partial L}{\partial y}=4y+\lambda=0,\quad \frac{\partial L}{\partial z}=6z+\lambda=0,\quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y+z-1=0.

Passo 3

Das três primeiras equações obtemos
x=-\frac{\lambda}{2},\quad y=-\frac{\lambda}{4},\quad z=-\frac{\lambda}{6}.
Substituindo na restrição x+y+z=1:
-\lambda\Bigl(\tfrac12+\tfrac14+\tfrac16\Bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda\cdot\frac{11}{12}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-\frac{12}{11}.
Logo
x=\frac{6}{11},\quad y=\frac{3}{11},\quad z=\frac{2}{11}.

Passo 4

Para confirmar que é um mínimo, basta notar que a forma quadrática é definida positiva. Calculamos o valor de f no ponto crítico:
f\Bigl(\tfrac{6}{11},\tfrac{3}{11},\tfrac{2}{11}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{6}{11}\Bigr)^{2} +2\Bigl(\tfrac{3}{11}\Bigr)^{2} +3\Bigl(\tfrac{2}{11}\Bigr)^{2} =\frac{36+18+12}{121} =\frac{66}{121} =\frac{6}{11}.

Resposta

O mínimo de f sujeito a x+y+z=1 é
f_{\min}=\frac{6}{11}
e ocorre no ponto
\bigl(x,y,z\bigr)=\Bigl(\tfrac{6}{11},\tfrac{3}{11},\tfrac{2}{11}\Bigr).

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