Maximize U(x, y)=f(x, y)=x^{0,5} y^{0,5} sujeito a 5 x+10 y=100 (Lagrange).

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a utilidade
U(x,y)=f(x,y)=x^{0,5}y^{0,5}
sujeito à restrição orçamentária
5x+10y=100.
O método escolhido é multiplicadores de Lagrange, que nos permite incorporar a restrição ao problema de otimização.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange \mathcal{L}(x,y,\lambda) unindo a utilidade e a restrição:
\mathcal{L}(x,y,\lambda) = x^{0,5}y^{0,5} +\lambda\bigl(100-5x-10y\bigr).

Passo 3

Calculamos as condições de primeira ordem, derivando \mathcal{L} em relação a x, y e \lambda e igualando a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} =0,5\,x^{-0,5}y^{0,5}-5\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} =0,5\,x^{0,5}y^{-0,5}-10\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} =100-5x-10y=0.

Passo 4

Das duas primeiras equações obtemos duas expressões para \lambda:
\lambda =\frac{0,5\,x^{-0,5}y^{0,5}}{5} =\frac{y^{0,5}}{10\,x^{0,5}},
\lambda =\frac{0,5\,x^{0,5}y^{-0,5}}{10} =\frac{x^{0,5}}{20\,y^{0,5}}.
Igualando-as:
\frac{y^{0,5}}{10\,x^{0,5}} = \frac{x^{0,5}}{20\,y^{0,5}} \quad\Longrightarrow\quad 20\,y=10\,x \quad\Longrightarrow\quad x=2y.

Passo 5

Substituímos x=2y na restrição 5x+10y=100:
5(2y)+10y=100 \quad\Longrightarrow\quad 20y=100 \quad\Longrightarrow\quad y=5,
x=2y=10.

Resposta

Os valores que maximizam U são
x^*=10,\quad y^*=5,
com utilidade máxima
U(10,5)=\sqrt{10\cdot5}=5\sqrt{2}.

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