Considere a função
. Encontre o mínimo sujeito a
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o mínimo de
sujeito à restrição
Isto é um problema de otimização com restrição de igualdade. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em introduzir um parâmetro
e igualar as derivadas parciais de uma função estendida a zero.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
As condições de estacionaridade exigem
Calculando:
Passo 3
Das três primeiras equações obtemos
Substituindo na restrição
:
Logo
Passo 4
Para confirmar que é um mínimo, basta notar que a forma quadrática é definida positiva. Calculamos o valor de
no ponto crítico:
Resposta
O mínimo de
sujeito a
é
e ocorre no ponto